Calcule as derivadas parciais de primeira ordem de:

(a) f(x, y) = (2 * x^4 - xy + 1) / (xy)

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente calcular as derivadas parciais de primeira ordem da função f ( x ,   y ) . Então, vamos calcular:

∂ f x ,   y ∂ x       e     ∂ f x ,   y ∂ y

Que são as derivadas parciais da função em relação a x e em relação a y , respectivamente.

Vamos lá!

Passo 2

Nossa função é dada por:

f x ,   y = 2 x 4 - x y + 1 x y

Então, derivando primeiro em relação a x , teremos:

∂ f x ,   y ∂ x = ∂ ∂ x 2 x 4 - x y + 1 x y

Nosso y vai se comportar como constante e usando a regra do quociente, temos:

∂ f x ,   y ∂ x = ∂ ∂ x 2 x 4 - x y + 1 ∙ x y - ∂ ∂ x x y ∙ 2 x 4 - x y + 1 x 2 y 2

∂ f x ,   y ∂ x = ( 8 x 3 - y ) ∙ x y - y ∙ 2 x 4 - x y + 1 x 2 y 2

Multiplicando os termos e simplificando:

∂ f x ,   y ∂ x = 6 x 4 - 1 x 2 y

Passo 3

Agora vamos derivar da mesma forma em relação a y :

∂ f x ,   y ∂ y = ∂ ∂ y 2 x 4 - x y + 1 x y

Também aplicando a regra do quociente, temos:

∂ f x ,   y ∂ y = ∂ ∂ y 2 x 4 - x y + 1 ∙ x y - ∂ ∂ y x y ∙ 2 x 4 - x y + 1 x 2 y 2

∂ f x ,   y ∂ y = - x ∙ x y - x ∙ 2 x 4 - x y + 1 x 2 y 2

Simplificando:

∂ f x ,   y ∂ y = - 2 x 4 - 1 x y 2

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

∂ f x ,   y ∂ x = 6 x 4 - 1 x 2 y

∂ f x ,   y ∂ y = - 2 x 4 - 1 x y 2

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