4] Encontre as derivadas parciais, como se fossem derivadas ordinárias, considerando constantes todas menos uma das variáveis

(5) u = (x^2 + y^2 + z^2)^(-1/2)

∂u / ∂z

Passo 1

Iae, meus queridos! Está com dificuldades nessa questão? Não se preocupe! Estamos aqui para ajudar 😉

Nesse problema, temos que obter a derivada parcial da função u = x 2 + y 2 + z 2 - 1 / 2 com relação a z

E aí, tem alguma ideia do que podemos fazer? 🤔

Quando derivamos parcialmente uma função de várias variáveis, temos que fazer as variáveis que não é derivada se comportar como uma constante, assim derivamos normalmente como uma função de uma única variável.

Entendeu? Bora começar! 😁

Passo 2

Temos que derivar u em função de z , ou seja, x e y se comportarão como constantes.

��� u ∂ z = ∂ x 2 + y 2 + z 2 - 1 / 2   ∂ z

Nesse caso temos uma função composta então para obter a derivada dessa função aplicamos a regra da cadeia...

Ou seja, a derivada da função de dentro multiplicada pela derivada da função de fora...

∂ u ∂ z = ∂ x 2 + y 2 + z 2   ∂ z · ∂ v - 1 / 2   ∂ v

Pelo método de derivação polinomial, chegamos em

∂ x 2 + y 2 + z 2   ∂ z = 0 + 0 + 2 z 2 - 1 = 2 z

∂ v - 1 / 2   ∂ v = - 1 2 u - 1 2 - 1 = - v - 3 2 2

Substituindo em ∂ u ∂ z e voltando v para x 2 + y 2 + z 2

∂ u ∂ z = ∂ x 2 + y 2 + z 2   ∂ z · ∂ v - 1 / 2   ∂ v

∂ u ∂ z = 2 z · - v - 3 2 2

∂ u ∂ z = - z x 2 + y 2 + z 2 - 3 2

É isso, espero ter ajudado! Entendeu tudo? Responde Aí! 😎👍

Resposta

∂ u ∂ z = - z x 2 + y 2 + z 2 - 3 2

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