4] Encontre as derivadas parciais, como se fossem derivadas ordinárias, considerando constantes todas menos uma das variáveis

(8) u = arctg(xyzw)

∂u / ∂w

Passo 1

Fala aí! Tudo certinho? Esta questão está um pouco complicada? Relaxa que vamos tentar te ajudar. 😎

Nesse problema, temos que obter a derivada parcial da função u = a r c t g x y z w com relação a w

E aí, tem alguma ideia do que podemos fazer? 🤔

Quando derivamos parcialmente uma função de várias variáveis, temos que fazer as variáveis que não é derivada se comportar como uma constante, assim derivamos normalmente como uma função de uma única variável.

Entendeu? Bora começar! 😁

Passo 2

Temos que derivar u em função de w , ou seja, x , y e z se comportam como constantes.

∂ u ∂ w = ∂ a r c t g x y z w ∂ w

Como a função u é uma função composta, a sua derivada pode ser obtida pela regra da cadeia, ou seja, a derivada da função interna multiplicada pela derivada da função externa...

∂ u ∂ w = ∂ x y z w ∂ w · ∂ a r c t g v ∂ v

Pelo método de derivação polinomial, sabemos que a derivada de x y z w é dada por

∂ x y z w ∂ w = x y z

Já pelo teorema fundamental do cálculo, a derivada de a r c t g u é dada por

∂ a r c t g v ∂ v = 1 v 2 + 1

Substituindo em ∂ u ∂ w e voltando v para x y z w ...

∂ u ∂ w = ∂ x y z w ∂ w · ∂ a r c t g v ∂ v

∂ u ∂ w = x y z · 1 v 2 + 1

∂ u ∂ w = x y z · 1 x y z w 2 + 1

∂ u ∂ w = x y z x y z w 2 + 1

Fim! Iae, o que achou? Responde Aí! 😁

Resposta

∂ u ∂ w = x y z x y z w 2 + 1

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