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Exercícios Resolvidos de Derivadas Parciais

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Enunciado

UTFPR, Sem Campus, Cálculo Diferencial e Integral 2, Listas de Cáclulo 2 - Profº Félix Gómez - Primeira Lista, Questão 5.8

8] Dada a função de várias variáveis, w = x 2 y + y 2 z + z 2 x , verifique

∂ x w + ∂ y w + ∂ z w = x + y + z 2

Passo 1

Fala aí! Tudo certinho? Esta questão está um pouco complicada? Relaxa que vamos tentar te ajudar. 😎

Nessa questão foi dada uma função w = x 2 y + y 2 z + z 2 x e temos que obter se ela satisfaz a equação ∂ x w + ∂ y w + ∂ z w = x + y + z 2

Como vamos fazer isso? 🤔

Essa equação nos diz que a soma das derivadas parciais de w é igual a x + y + z 2 .

Podemos obter as derivadas parciais de uma função com relação a uma variável, considerando as outras variáveis como constantes e derivando normalmente.

Entendeu? Veja só! 😁

Passo 2

Primeiro vamos obter a derivada parcial de w com relação a x , nesse caso, y e z se comportarão como constantes

∂ x w = ∂ x 2 y + y 2 z + z 2 x ∂ x

Pelo método de derivação polinomial, vamos obter

∂ x w = 2 x y + 0 + z 2

∂ x w = 2 x y + z 2

Agora vamos fazer o mesmo com relação a y

∂ y w = ∂ x 2 y + y 2 z + z 2 x ∂ y

Novamente pelo método de derivação polinomial...

∂ y w = x 2 + 2 y z + 0

∂ y w = x 2 + 2 y z

Por último, vamos obter a derivada parcial de w com relação a z

∂ z w = ∂ x 2 y + y 2 z + z 2 x ∂ z

Aplicando o mesmo método de derivação...

∂ z w = 0 + y 2 + 2 z x

∂ z w = y 2 + 2 z x

Tranquilo até aqui? 😊

Passo 3

E finalmente, substituindo as derivadas parciais na equação que temos que provar, vamos obter

∂ x w + ∂ y w + ∂ z w = x + y + z 2

2 x y + z 2 + x 2 + 2 y z + y 2 + 2 z x = x + y + z 2

Desenvolvendo o produto no lado direito...

x 2 + y 2 + z 2 + 2 x y + 2 y z + 2 z x = x + y + z x + y + z

x 2 + y 2 + z 2 + 2 x y + 2 y z + 2 z x = x 2 + x y + x z + y x + y 2 + y z + z x + z y + z 2

Juntando os termos iguais...

x 2 + y 2 + z 2 + 2 x y + 2 y z + 2 z x = x 2 + y 2 + z 2 + x y + y x + y z + z y + z x + x z

x 2 + y 2 + z 2 + 2 x y + 2 y z + 2 z x = x 2 + y 2 + z 2 + 2 x y + 2 y z + 2 z x

Fim! Iae, o que achou? Responde Aí! 😁

Resposta

x 2 + y 2 + z 2 + 2 x y + 2 y z + 2 z x = x 2 + y 2 + z 2 + 2 x y + 2 y z + 2 z x

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