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Exercícios Resolvidos de Derivadas Parciais

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Enunciado

UTFPR, Sem Campus, Cálculo Diferencial e Integral 2, Listas de Cáclulo 2 - Profº Félix Gómez - Primeira Lista, Questão 5.4.4

Encontre as derivadas parciais, como se fossem derivadas ordinárias, considerando constantes todas menos uma das variáveis.

(4) f r ,   θ = r 2 cos ⁡ ( θ ) - 2 r tan ⁡ ( θ ) ;

D 2 f ( r ,   θ )

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente calcular a derivada parcial da função em relação θ , como se fossem derivadas ordinárias. Isso quer dizer que vamos variar apenas θ e considerar as outras variáveis como constantes na derivação.

A gente sabe que essa derivada é em relação a θ por causa da notação D 2 f ( r ,   θ ) , que corresponde a derivada da segunda variável da função, e também pode ser escrita na forma ∂ ∂ θ   f ( r ,   θ ) .

Vamos lá!

Passo 2

Vamos começar derivando f r ,   θ = r 2 cos ⁡ ( θ ) - 2 r tan ⁡ ( θ ) em relação a θ , considerando r constante:

∂ ∂ θ   f ( r ,   θ ) = ∂ ∂ θ   ( r 2 cos ⁡ ( θ ) - 2 r tan ⁡ ( θ ) )

∂ ∂ θ   f r ,   θ = ∂ ∂ θ   r 2 cos ⁡ θ - ∂ ∂ θ   ( 2 r tan ⁡ ( θ ) )

Vamos derivar usando a regra do produto nos dois termos (fazendo a derivada do primeiro termo vezes o segundo termo, mais derivada do segundo termo vezes o primeiro termo):

∂ ∂ θ   f r ,   θ = cos ⁡ θ ∂ ∂ θ   r 2 + r 2 ∂ ∂ θ cos ⁡ θ + tan ⁡ ( θ ) ∂ ∂ θ - 2 r + - 2 r ∂ ∂ θ tan ⁡ ( θ )

Em ∂ ∂ θ   r 2 , nossa função não depende de θ , então a derivada em relação a ele é zero, o mesmo acontece em ∂ ∂ θ - 2 r . Para as outras derivadas em relação a θ , temos:

∂ ∂ θ cos ⁡ θ = - sin ⁡ ( θ )

∂ ∂ θ tan ⁡ ( θ ) = sec 2 ⁡ ( θ )

Então, nosso resultado vai ficar:

∂ ∂ θ   f r ,   θ = - r 2 sin ⁡ θ - 2 r sec 2 ⁡ ( θ )

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

∂ ∂ θ   f r ,   θ = - r 2 sin ⁡ θ - 2 r sec 2 ⁡ ( θ )

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