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Exercícios Resolvidos de Derivadas Parciais

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Enunciado

UERJ, Sem Campus, Cálculo II, Provas de Cálculo 2 - Profº Filipe Iorio - 1ª Prova, Questão 4

4) Determine a aproximação linear da função f x , y , z = x 2 + y 4 + z 5 em 4,2 , 2 e use-a para aproximar o número 4,01 2 + 1,97 4 + 2,02 5 .

Passo 1

Suave na nave?! Tá complicada essa questão? Relaxa que a gente vai te ajudar!

Nesse problema temos que obter uma aproximação linear da função f x , y , z = x 2 + y 4 + z 5 no ponto 4,2 , 2 para obter uma aproximação de f no ponto 4.01,1.97,2.02 .

Entendeu alguma coisa? 🤔🤔

Obter uma aproximação linear de uma função é o mesmo que obter seu plano tangente. Para funções de três variáveis, o plano tangente é dado por

L = f x 0 , y 0 , z 0 + ∂ f x 0 , y 0 , z 0 ∂ x x - x 0 + ∂ f x 0 , y 0 , z 0 ∂ y y - y 0 + ∂ f x 0 , y 0 , z 0 ∂ z z - z 0

E com o plano tangente obtido, substituímos o ponto 4.01,1.97,2.02 para obter a aproximação.

Preparado? Bora começar! 😁

Passo 2

O ponto x 0 , y 0 , z 0 é dado por 4,2 , 2 .

Obtendo o ponto f x 0 , y 0 , z 0 , temos

f x 0 , y 0 , z 0 = 4 2 + 2 4 + 2 5

f x 0 , y 0 , z 0 = 8

Agora vamos obter as derivadas parciais de f

∂ f ∂ x = ∂ x 2 + y 4 + z 5 ∂ x

Pela regra da cadeia, temos

∂ f ∂ x = ∂ x 2 + y 4 + z 5 ∂ x · ∂ u ∂ u

∂ f ∂ x = 2 x · 1 2 u

∂ f ∂ x = x x 2 + y 4 + z 5

Agora com relação a y

∂ f ∂ y = ∂ x 2 + y 4 + z 5 ∂ y

Novamente pela regra da cadeia...

∂ f ∂ y = ∂ x 2 + y 4 + z 5 ∂ y · ∂ u ∂ u

∂ f ∂ y = 4 y 3 · 1 2 u

∂ f ∂ y = 2 y 3 x 2 + y 4 + z 5

Por fim com relação a z

∂ f ∂ z = ∂ x 2 + y 4 + z 5 ∂ z

∂ f ∂ z = ∂ x 2 + y 4 + z 5 ∂ z · ∂ u ∂ u

∂ f ∂ z = 5 z 4 · 1 2 u

∂ f ∂ z = 5 z 4 2 x 2 + y 4 + z 5

Tranquilo até aqui? 😉

Passo 3

Substituindo as derivadas parciais e o ponto   f x 0 , y 0 , z 0 em L

L = 8 + x 0 x 0 2 + y 0 4 + z 0 5 x - x 0 + 2 y 0 3 x 0 2 + y 0 4 + z 0 5 y - y 0 + 5 z 0 4 2 x 0 2 + y 0 4 + z 0 5 z - z 0

Aplicando o ponto x 0 , y 0 , z 0 = 4,2 , 2 ...

L = 8 + 4 4 2 + 2 4 + 2 5 x - 4 + 2 2 3 4 2 + 2 4 + 2 5 y - 2 + 5 2 4 2 4 2 + 2 4 + 2 5 z - 2

L = 8 + 4 8 x - 4 + 16 8 y - 2 + 80 16 z - 2

L = 8 + x 2 - 2 + 2 y - 4 + 5 z - 10

L = x 2 + 2 y + 5 z - 8

Aplicando o ponto de aproximação 4.01,1.97,2.02 em L , temos

L = 4,01 2 + 2 1,97 + 5 2,02 - 8

L = 8,045

Então, vemos que f 4.01,1.97,2.02 é aproximadamente 8,045

O que achou? Foi de boa? Responde aí! 😊

Resposta

L = 8,045

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