UERJ, Sem Campus, Cálculo II, P1 - 2023.1, Questão 3a
Seja uma função de duas variáveis.
- Determine .
Passo 1
Eaew, belezinha?
A questão define para a gente uma função f(x,y) de duas variáveis x e y e em seguida nos pede para calcular derivadas parciais da função de primeira e de segunda ordem. Bem, para derivar uma função de duas variáveis em relação a uma delas, precisamos considerar a outra como constante durante o processo. Então, vamos começar calculando a derivada parcial de f(x,y) em relação à x, considerando y como constante:
Agora, para encontrar a derivada parcial de f(x,y) em relação à y, fazemos a mesma coisa, mas dessa vez considerando x como constante. Assim, como a derivada da exponencial é ela mesma, obtemos:
Agora que temos as derivadas parciais de primeira ordem, podemos prosseguir para calcular as de segunda ordem derivando as expressões acima mais uma vez. Então vamos lá derivar!
Passo 2
Vamos prosseguir então com . Para obter essa derivada parcial de segunda ordem, só precisamos derivar mais uma vez em relação à x a expressão obtida para . Fazendo isso obtemos:
Semelhantemente, para calcularmos precisamos derivar mais uma vez, em relação à y, a expressão obtida para . Fazendo isso, obtemos:
Agora, só precisamos calcular as derivadas parciais cruzadas . Então, bora lá!
Passo 3
Dessa vez, queremos derivadas de segunda ordem, mas que não são derivadas em relação à mesma variável. Comecemos com . Para essa derivada de segunda ordem, primeiro derivamos a função em relação à y e em seguida derivamos em relação à x. Será que a ordem de derivação altera o resultado? A gente já vai descobrir! Vamos derivar em relação à x. Considerando y constante, e utilizando a regra do produto, obtemos:
Excelente! Agora vamos calcular na ordem inversa: primeiro derivamos f(x,y) em relação a x e, em seguida em relação a y. Utilizando o resultado obtido para e, derivando-o em relação à y, e utilizando a regra do produto, obtemos:
Com isso, chegamos então a um resultado muito importante do cálculo de funções de duas variáveis: a operação de derivação parcial comuta! Ou seja, não importa se derivamos f(x,y) em relação à x primeiro e em seguida em relação à y ou se fazemos a ordem oposta: o resultado é o mesmo!