UFES– Cálculo 2 – P3 – Questão 4
A equação de um cone é , então o vértice é o ponto?
Passo 1
Oi, tudo bem? Essa questão parece complicada, mas vou ajudar e resolver passo a passo com você! Vamos primeiro jogar essa equação em um software para visualizar melhor esse cone:
Um cone é tipo uma casquinha de sorvete! Estamos acostumados com cones em que o eixo de simetria que passa por dentro dessa casquinha é sempre paralelo a algum eixo
No nosso caso isso não acontece! E eu sei disso pela existência daqueles termos mistos:
Quando esses termos aparecem, nossa superfície tem a mesma cara que já conhecemos, mas não é paralela aos eixos cartesianos.
Mas isso muda alguma coisa? Não, só queria explicar isso para você não ficar preocupado com aqueles termos estranhos!
No desenho eu destaquei um ponto só: A
E é esse ponto que queremos! Esse é o vértice do cone! Mas como achar esse ponto?
Dá uma olhadinha de novo no desenho e percebe que esse ponto A está bem no ‘bico’ do cone? Então, se o vértice é no bico, ele é um ponto de extremo dessa superfície!
E como achamos os extremos de uma superfície mesmo? DERIVANDO E IGUALANDO A ZERO!
Claro, aqui vamos derivar parcialmente em cada componente (x,y e z) e igualar cada derivada parcial a zero! Com isso vamos ter três equações e três incógnitas! SISTEMA!
Mas calma, vou fazer passo a passo com você!
Passo 2
Para começar, vamos chamar nossa superfície de :
Beleza?
E agora derivar parcialmente em relação a cada uma das variáveis (e já igualar a zero).
Primeiro em :
O que nos leva a:
Beleza? Agora fazer a mesma coisa em :
Oba! Já encontramos uma das coordenadas do vértice! Uma não, duas! Porque podemos substituir esse valor de a expressão para ali em cima:
Tranquilo até aqui?
Agora vamos fazer a derivada em e igualar a zero:
E com os valores de e que acabamos de encontrar, podemos substituir ali em cima e achar :
Passo 3
Vamos resgatar os valores encontrados para as coordenadas:
Esse é o vértice do nosso cone! , e nosso esboço pode ser preenchido:
Sendo assim, a resposta correta é (c). E é isso! Espero ter ajudado!