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Exercícios Resolvidos de Derivadas Parciais

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Enunciado

UFABC – Funções de Várias Variáveis – Lista de Exercícios 3 – Questão 3a

Encontre as derivadas parciais indicadas

a )   z = ln ⁡ 1 + x y ; ∂ z ∂ x 1,2 ; ∂ z ∂ y ( 0,0 )

Passo 1

Fala galera, tudo bem? Essa questão parece complicada, mas estou aqui para te ajudar! Vamos resolver juntos?

O problema deu essa função aqui de duas variáveis:

z = ln ⁡ 1 + x y

E pediu para calcularmos as derivadas parciais

∂ z ∂ x ,   ∂ z ∂ y

Mas como calcular isso?

Quando temos uma função de várias variáveis e queremos descobrir qual é a derivada dela em relação a uma, nós consideramos as outras como constantes! Isso mesmo!

∂ z / ∂ x , por exemplo, vamos considerar y como se fosse um número, mas sem fazer qualquer conta com eles. Assim vamos derivar APENAS a variável x , conforme todas as regras que já conhecemos

Lembra que derivada de constante é zero!

Mas relaxa, vou fazer passo a passo com você!

Vamos começar?

Passo 2

Vamos começar calculando ∂ z / ∂ x . Nossa função é

z = ln ⁡ 1 + x y

E vamos considerar y como constante! Assim é como se fosse uma regra da cadeia!

∂ z ∂ x = 1 1 + x y   .   1 2 1 + x y   . y

Aí a derivada parcial é:

∂ z ∂ x = y 2 ( 1 + x y )

Beleza? Guarda esse resultado!

Passo 3

E acabou? Não!

E problema não só pediu para calcularmos a parcial em um ponto específico:

∂ z ∂ x 1,2

Então vamos usar o resultado que guardamos e aplicar no ponto dado! A parcial que calculamos:

∂ z ∂ x = y 2 ( 1 + x y )

Agora aplicando em ( 1,2 ) :

∂ z ∂ x 1,2 = 2 2 1 + 1.2 = 2 6 = 1 3

Agora sim, terminamos essa parte!

Agora vamos calcular a outra parcial? Bora lá!

Passo 4

Vamos calcular a última parcial? Para essa última vamos considerar x constante!

Nossa função é

z = ln ⁡ 1 + x y

Agora derivando APENAS em y :

∂ z ∂ y = 1 1 + x y   .   1 2 1 + x y   . x

∂ z ∂ y = x 2 ( 1 + x y )

Tudo bem até aqui?

Por fim precisamos aplicar no ponto! Agora o ponto dado é o ( 0,0 ) , então

∂ z ∂ y 0,0 = 0 2 ( 1 + 0 ) = 0

Agora sim, terminamos!

E é isso pessoal! Espero ter ajudado!

Resposta

∂ z ∂ x 1,2 = 1 3

∂ z ∂ y 0,0 = 0

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