UTFPR, Sem Campus, Cálculo Diferencial e Integral 2, Listas de Cáclulo 2 - Profº Félix Gómez - Primeira Lista, Questão 5.1c
Utilizar a definição para encontrar as derivadas parciais:
c)
Passo 1
Fala, galera! Vamos resolver essa questão!
O enunciado pediu pra gente calcular a derivada parcial da função em relação usando a definição de derivada parcial. A gente sabe que essa derivada é em relação a por causa da notação , que corresponde a derivada da segunda variável da função, e que é igual a ).
Bom, para derivadas parciais, em relação a , essa definição é dada pelo limite:
Assim, deixamos somente variar, mantendo fixo, e representa essa variação infinitesimal.
Então, o que precisamos fazer é substituir a função na definição e verificar o valor do limite quando .
Vamos lá!
Passo 2
Vamos começar substituindo na função, para obter :
Abrindo o produto notável, temos:
Aplicando a propriedade distributiva nos termos:
Passo 3
Substituindo o resultado do passo no limite, juntamente com a função , temos:
Simplificando os termos semelhantes:
Agora podemos colocar em evidência no numerador:
Simplificando com o denominador:
Assim, quando tende a zero, vamos obter:
Valeu, galera! Até a próxima! 😉