Dados os valores observados de uma quantidade em torno dos valores médios e :
- Estime as taxas de variação de com e de com em torno dos valores médios.
- Determine a aproximação linear de em torno do ponto médio
Passo 1
Queremos as derivadas parciais de no ponto de valores médios , ok?!
Vamos começar pela taxa de variação em relação a .
Para isso, fixamos o valor de como uma constante, igual ao valor médio . Assim, ficamos com uma função que depende só de :
Então, só precisamos calcular a derivada no ponto e teremos a taxa de variação de em relação a . Assim, pela definição de derivada de uma variável, para :
Passo 2
Beleza, então agora é só substituir tudo e calcular esse limite. Mas, pera! A gente não tem a expressão de , como vamos substituir então?
Bem, nesse caso, temos que fazer o variar, por exemplo, fazendo , para que possamos pegar os valores de na tabela.
Depois, fazemos a média dos valores calculados quando fizemos e para determinar a .
Parece confuso né? Mas olha só como é:
Fazendo primeiro :
Agora :
Para achar temos que fazer a média desses dois valores. Assim:
Passo 3
Agora, para a taxa de variação em relação a fazemos a mesma coisa.
Considerando constante e igual a , temos uma função que depende só de :
E então, para achar , fazemos:
E, agora fazemos , para poder pegar os valores na tabela e temos:
Para :
Para
Por fim, fazemos a média desses dois valores e temos que
Passo 4
Sabemos que
Assim, para , temos
Usando os valores da tabela e os valores de e encontrados na letra , temos