Considere a equação F(x, y) = cos(x - 8y) - x * e^(4y) = 0 que define implicitamente x em função de y . Usando a fórmula dx/dy = - (F_x / F_y) temos:

  1. dx/dy = (sen(x - y) + e^(4y)) / (8 * sen(x - 8y) - x * e^(4y))
  2. dx/dy = (sen(x - 8y) + e^(4y)) / (8 sen(x - 8y) - 4x e^(4y))
  3. dx / dy = (8 * sen(x - y) + e^(4y)) / (sen(x - 8y) - 8x * e^(4y))
  4. d x / d y = (sen(x - y) + e^(4y)) / (sen(x - y) - x * e^(4y))
  5. dx / dy = (sen(x - 8y) + e^(4y)) / (8sen(x - 8y) - xe^(4y))

Passo 1

O enunciado assusta um pouco falando de relação implícita entre x e y , mas na verdade, ele só quer que a gente use a fórmula para d x d y que ele dá.

Então o que a gente precisa fazer é calcular as derivadas parciais de F ( x , y ) e substituir nessa fórmula.

Passo 2

Temos que:

F x , y = c o s   x - 8 y   - x e 4 y

No primeiro termo temos uma função composta (usamos a regra da cadeia) de x e no segundo, um produto entre x e uma constante. Então a derivada fica:

F x = - s e n x - 8 y   - e 4 y

Passo 3

Para y   como variável, temos uma função composta no primeiro termo e outra função composta no segundo termo. Então ficamos com:

F y = - 8 - s e n x - 8 y   - x 4 e 4 y

F y = 8 s e n x - 8 y   - 4 x e 4 y

Passo 4

Usando a fórmula do enunciado:

d x d y = - F x F y = - - s e n x - 8 y   - e 4 y 8   s e n x - 8 y   - 4 x e 4 y   =   s e n x - 8 y   + e 4 y 8   s e n x - 8 y   - 4 x e 4 y

Que é a letra b.

Resposta

Letra b

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