Calcule as derivadas parciais de primeira ordem de:

(f) f(x, y, z, u, v) = xy z u^2 v^4

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente calcular as derivadas parciais de primeira ordem da função f ( x ,   y ) . Então, vamos calcular:

∂ f x ,   y ∂ x       ,     ∂ f x ,   y ∂ y ,         ∂ f x ,   y ∂ z ,     ∂ f x ,   y ∂ u ,     ∂ f x ,   y ∂ v

Que são as derivadas parciais da função em relação a x ,   y ,   z ,   u e v , respectivamente.

Vamos lá!

Passo 2

Nossa função é dada pela integral definida:

f x ,   y ,   z ,   u ,   v = x y z u 2 v 4

Então, derivando primeiro em relação a x , vamos colocar todas as outras variáveis, que se comportam como constantes, fora da derivada. Assim:

∂ f x ,   y ∂ x = y z u 2 v 4 ∂ ∂ x x

E derivando, temos:

∂ f x ,   y ∂ x = y z u 2 v 4 ∙ ( 1 )

Simplificando:

∂ f x ,   y ∂ x = y z u 2 v 4

Passo 3

Da mesma forma, vamos derivar nossa função em relação a y :

∂ f x ,   y ∂ y = x z u 2 v 4 ∂ ∂ y y

∂ f x ,   y ∂ y = x z u 2 v 4 ∙ ( 1 )

Simplificando:

∂ f x ,   y ∂ y = x z u 2 v 4

Passo 4

Derivando em relação a z , temos:

∂ f x ,   y ∂ z = x y u 2 v 4 ∂ ∂ z z

∂ f x ,   y ∂ z = x y u 2 v 4 ∙ ( 1 )

Simplificando:

∂ f x ,   y ∂ z = x y u 2 v 4

Passo 5

Derivando em relação a u , temos:

∂ f x ,   y ∂ u = x y z v 4 ∂ ∂ u u 2

∂ f x ,   y ∂ u = x y z v 4 ∙ ( 2 u )

∂ f x ,   y ∂ u = 2 x y z u v 4

Passo 6

Por fim, vamos derivar em relação a v :

∂ f x ,   y ∂ v = x y z u 2 ∂ ∂ v v 4

∂ f x ,   y ∂ v = x y z u 2 ∙ ( 4 v 3 )

∂ f x ,   y ∂ v = 4 x y z u 2 v 3

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

∂ f x ,   y ∂ x = y z u 2 v 4

∂ f x ,   y ∂ y = x z u 2 v 4

∂ f x ,   y ∂ z = x y u 2 v 4

∂ f x ,   y ∂ u = 2 x y z u v 4

∂ f x ,   y ∂ v = 4 x y z u 2 v 3

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