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Exercícios Resolvidos de Derivadas Parciais

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Enunciado

UTFPR, Sem Campus, Cálculo Diferencial e Integral 2, Listas de Cáclulo 2 - Profº Félix Gómez - Primeira Lista, Questão 5.9

9] Fornecida a função de várias variáveis, v = x 3 + y 3 + z 3 - 3 x y z , verifique

x ∂ x v + y ∂ y v + z ∂ z v = 3 v

Passo 1

Fala aí, querido!! Tudo certinho? Bora resolver esse probleminha? 😉

Nessa questão foi dada uma função v = x 3 + y 3 + z 3 - 3 x y z e temos que obter se ela satisfaz a equação x ∂ x v + y ∂ y v + z ∂ z v = 3 v

Como vamos fazer isso? 🤔

Essa equação nos diz que a soma das derivadas parciais de v multiplicadas pelas suas variáveis de derivação é igual a 3 v .

Podemos obter as derivadas parciais de uma função com relação a uma variável, considerando as outras variáveis como constantes e derivando normalmente.

Entendeu? Veja só! 😁

Passo 2

Primeiro vamos obter a derivada parcial de v com relação a x , nesse caso, y e z se comportarão como constantes

∂ x v = ∂ x 3 + y 3 + z 3 - 3 x y z ∂ x

Pelo método de derivação polinomial, vamos obter

∂ x v = 3 x 2 + 0 + 0 - 3 y z

∂ x v = 3 x 2 - 3 y z

Fazendo o mesmo processo para y ...

∂ y v = ∂ x 3 + y 3 + z 3 - 3 x y z ��� y

∂ y v = 0 + 3 y 2 + 0 - 3 x z

∂ y v = 3 y 2 - 3 x z

Por último, com relação a z

∂ z v = ∂ x 3 + y 3 + z 3 - 3 x y z ∂ z

∂ z v = 0 + 0 + 3 z 2 - 3 x y

∂ z v = 3 z 2 - 3 x y

Tranquilo até aqui? 😉

Passo 3

Substituindo as derivadas parciais e a função v na equação do problema...

x ∂ x v + y ∂ y v + z ∂ z v = 3 v

x 3 x 2 - 3 y z + y 3 y 2 - 3 x z + z 3 z 2 - 3 x y = 3 x 3 + y 3 + z 3 - 3 x y z

Simplificando a equação, temos

3 x 3 - 3 x y z + 3 y 3 - 3 x y z + 3 z 3 - 3 x y z = 3 x 3 + 3 y 3 + 3 z 3 - 9 x y z

3 x 3 + 3 y 3 + 3 z 3 - 3 x y z - 3 x y z - 3 x y z = 3 x 3 + 3 y 3 + 3 z 3 - 9 x y z

3 x 3 + 3 y 3 + 3 z 3 - 9 x y z = 3 x 3 + 3 y 3 + 3 z 3 - 9 x y z

Sacou como faz? Responde Aí! 😉

Resposta

3 x 3 + 3 y 3 + 3 z 3 - 9 x y z = 3 x 3 + 3 y 3 + 3 z 3 - 9 x y z

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