4] Encontre as derivadas parciais, como se fossem derivadas ordinárias, considerando constantes todas menos uma das variáveis

(7) r = e^(-θ) * cos(θ + φ)

∂r / ∂θ

Passo 1

Iae, como vai? Essa questão está um pouco complicada? Fique tranquilo que vamos tentar te ajudar. 😎👍

Nesse problema, temos que obter a derivada parcial da função r = e - θ cos ⁡ θ + ϕ com relação a θ

E a��, tem alguma ideia do que podemos fazer? 🤔

Quando derivamos parcialmente uma função de várias variáveis, temos que fazer as variáveis que não é derivada se comportar como uma constante, assim derivamos normalmente como uma função de uma única variável.

Entendeu? Bora começar! 😁

Passo 2

Temos que derivar r em função de θ , ou seja, ϕ se comporta como uma constante.

∂ r ∂ θ = ∂ e - θ cos ⁡ θ + ϕ ∂ θ

Como temos o produto de duas funções de θ , podemos aplicar a regra do produto, lembra dela?

f x = g x · h x → f ' x = g ' x · h x + g x · h ' x

Ou seja

∂ r ∂ θ = ∂ e - θ ∂ θ · cos ⁡ θ + ϕ + e - θ · ∂ cos ⁡ θ + ϕ ∂ θ

Agora, pela regra da cadeia, vamos obter as derivadas de e - θ e cos ⁡ θ + ϕ .

A regra da cadeia é obtida a partir da derivada da função interna multiplicada pela derivada da função externa, veja só

∂ e - θ ∂ θ = ∂ - θ ∂ θ · ∂ e u ∂ u = - e u

∂ e - θ ∂ θ = - e - θ

Para a outra derivada...

∂ cos ⁡ θ + ϕ ∂ θ = ∂ θ + ϕ ∂ θ · ∂ cos ⁡ v ∂ v = - s e n v

∂ cos ⁡ θ + �� ∂ θ = - s e n θ + ϕ

Substituindo em ∂ r ∂ θ ...

∂ r ∂ θ = ∂ e - θ ∂ θ · cos ⁡ θ + ϕ + e - θ · ∂ cos ⁡ θ + ϕ ∂ θ

∂ r ∂ θ = - e - θ · cos ⁡ θ + ϕ + e - θ · - s e n θ + ϕ

∂ r ∂ θ = - e - θ cos ⁡ θ + ϕ - s e n θ + ϕ

E todos viveram felizes para sempre. Fim! 😉 Entendeu tudo? Responde Aí

Resposta

∂ r ∂ θ = - e - θ cos ⁡ θ + ϕ - s e n θ + ϕ

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