Calcule as derivadas parciais de primeira ordem de:

(b) f(x, y) = arctan(x / y)

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente calcular as derivadas parciais de primeira ordem da função f ( x ,   y ) . Então, vamos calcular:

∂ f x ,   y ∂ x       e     ∂ f x ,   y ∂ y

Que são as derivadas parciais da função em relação a x e em relação a y , respectivamente.

Vamos lá!

Passo 2

Nossa função é dada por:

f x ,   y = arctan ⁡ x y

Então, derivando primeiro em relação a x :

∂ f x ,   y ∂ x = ∂ ∂ x arctan ⁡ x y

E usando a regra da cadeia, temos a derivada da função de fora aplicada na função de dentro, vezes a derivada da função de dentro:

∂ f x ,   y ∂ x = 1 x y 2 + 1 ∙ ∂ ∂ x x y

∂ f x ,   y ∂ x = 1 x 2 y 2 + 1 ∙ 1 y

Multiplicando os termos e simplificando:

∂ f x ,   y ∂ x = y x 2 + y 2

Passo 3

Agora vamos derivar da mesma forma em relação a y :

∂ f x ,   y ∂ y = ∂ ∂ y 2 x 4 - x y + 1 x y

Também aplicando a regra da cadeia, temos:

∂ f x ,   y ∂ y = 1 x y 2 + 1 ∙ ∂ ∂ y x y

∂ f x ,   y ∂ y = 1 x 2 y 2 + 1 ∙ - x y 2

Simplificando:

∂ f x ,   y ∂ y = - x x 2 + y 2

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

∂ f x ,   y ∂ x = y x 2 + y 2

∂ f x ,   y ∂ y = - x x 2 + y 2

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