UFF, Cálculo IIB, Listas GMA, Lista 3, exercício 8.
Determine as derivadas parciais da função dada:
Passo 1
Nossa, temos uma função elevada a outra função, que loucura!
Mas relaxa, só vamos ter ‘problema’ quanto a isso, quando formos fazer a derivada parcial em relação a . Fora isso, esse é como se fosse uma constante, então vamos simplesmente derivar como sempre fazemos.
Vamos começar pela derivada parcial em relação a .
Usando a regra da cadeia e considerando as outras variáveis como constantes, temos
Passo 2
Agora fazemos a mesma coisa para a derivada parcial em relação a .
Usando a regra da cadeia e considerando as outras variáveis como constantes, temos
Show?!
Passo 3
Beleza, agora como diabos vamos derivar em relação a se a função de está no expoente?!
Para fazer essa derivada parcial, vamos usar a derivação logarítmica. Assim:
Aplicamos dos dois lados:
Usamos as propriedades do :
Derivamos os dois lados, usando a regra da cadeia e do produto:
Passo 4
Ok, chegamos a expressão quase pronta da derivada. Mas, como estamos derivando em relação a , temos que considerar apenas as derivadas em relação a . Assim: