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Exercícios Resolvidos de Derivadas Parciais

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Enunciado

Cálculo II - USP

A função f ( x , y ) é diferenciável no plano. Definimos g u , v = f v u , u v + u . Obtenha a expressão u 2 ∂ g ∂ u + u ∂ g ∂ v em termos de u ,   v ,   f x   e   f y   (Lembre-se que f x = ∂ f ∂ x   e   f y = ∂ f ∂ y )

Passo 1

Faaala pessoal :3 tudo ok com vocês? Bora lá resolver essa questão! Temos que a questão nos entrega uma função f ( x , y ) , que é uma função de duas variáveis. E ela ainda diz que ela é diferençável no plano. Isso é ótimo porque significa que podemos trabalhar com ela tranquilamente derivando nos dois eixos x e y .

E aí a questão sagazmente define uma função g u , v = f v u ,   u v + u . Ou seja, uma nova função parecida com a nossa antiga, mas agora trocando o que era:

f ( x , y )

Para

f v u ,   u v + u

Ou seja,

x = v u

E

y = u v + u

E aí ele pede pra gente calcular uma função nesse formato:

u 2 ∂ g ∂ u + u ∂ g ∂ v

Ou seja, u 2 multiplicado pela função g ( u , v ) derivada parcialmente em u somado com u multiplicado pela função g ( u , v ) derivado parcialmente em v . Então a estratégia aqui é achar essas derivadas parciais e aí voltar pra função. Se você já quiser tentar, fique a vontade! Vou começar a resolução no próximo passo.

Passo 2

Show, então bora lá calcular derivadas parciais. O que são elas? São derivadas de funções, só que considerando somente uma variável. Como nossa função tem duas variáveis, u   e   v , é isso que vai dar a dinâmica da questão. Bora lá. Primeiro vamos encontrar

∂ g ∂ u

Que significa a derivada parcial da função g ( u , v ) , somente na direção u . Ou seja:

g u , v = f v u ,   u v + u

Dessa forma, temos:

∂ g ∂ u = g u , v ∂ u

Substituindo:

∂ g ∂ u = f v u ,   u v + u ∂ u

Belezura. Mas olha que detalhe interessante, aqui teremos que aplicar regra da cadeia! Em derivadas parciais, a regra da cadeia funciona da seguinte forma:

∂ g ∂ u = δ f δ x d x d u + δ f δ x d y d u    

Ou seja, incluimos as duas variáveis na nossa derivada. Trazendo pro nosso mundo:

δ f δ x d x d u       +         δ f δ x d y d u   =     ∂ f ∂ x d x d u         +         ∂ f ∂ y d ( y ) d u

Mas gente, lá do passo 1... quem são x e y agora em termos de u e v ?

x = u v

y = u v + u

Substituindo isso dentro da nossa função: o que era:

δ f δ x d x d u       +         δ f δ x d y d u   =     ∂ f ∂ x d x d u         +         ∂ f ∂ y d ( y ) d u

Agora é:

δ f δ x d x d u       +         δ f δ x d y d u   =     ∂ f ∂ x d v u d u         +         ∂ f ∂ y d ( u v + u ) d u

Boa. A questão ainda nos lembrou o seguinte: que só para termos de nomemclatura:

δ f δ x = f x

δ f δ y = f y

Portanto,

∂ g ∂ u = ∂ f ∂ x d v u d u         +         ∂ f ∂ y d ( u v + u ) d u       =       f x d v u d u + f y d ( u v + u ) d u  

Estamos quase lá, agora é só calcularmos as derivadas dessas funções v u e u v + u e termos de u .

Passo 3

Beleza, calculando essas derivadas separadamente:

d v u d u

Ora, já que estamos derivando em relação a u , consideramos v uma constante, portanto:

d v u d u = v d 1 u d u

E quem é essa derivada bem conhecida?

d 1 u d u = ln ⁡ u

Boa! Agora calculando:

d ( u v + u ) d u

Consideramos então a derivada de um polinômio em termos de u e v uma constante. Portanto, essa derivada é igual a:

d ( u v + u ) d u = v + 1

Logo, voltando pra expressão:

f x d v u d u + f y d ( u v + u ) d u

Podemos dizer que:

∂ g ∂ u = f x d v u d u + f y d ( u v + u ) d u = f x ln ⁡ u + f y   1 + v  

Show!! Agora é repetir os processos para acharmos ∂ g ∂ v . Ora, se:

∂ g ∂ v = ∂ f ∂ x d x d v + ∂ f ∂ y d y d v

Temos então que:

∂ f ∂ x d x d v + ∂ f ∂ y d y d v = ∂ f ∂ x d v u d v + ∂ f ∂ y d ( u v + u ) d v

Que pode ser simplificada a:

∂ f ∂ x d v u d v + ∂ f ∂ y d ( u v + u ) d v = f x d v u d v + f y d ( u v + u ) d v

Mas ora, quem é:

d v u d v ?

É a derivada de uma função de um polinômio de grau v , dividido pela constante u . Logo:

d v u d v = v 0 u = 1 u

E por sua vez:

d ( u v + u ) d v

Segue o mesmo estilo de polinômio, então temos que:

d ( u v + u ) d v = u

Portanto,

∂ g ∂ v = f x d v u d v + f y d ( u v + u ) d v = f x u   + f y ( u )

Vamos voltar agora pra nossa fórmula original?

Passo 4

Temos que a fórmula inicial é:

u 2 ∂ g ∂ u + u ∂ g ∂ v

Mas acabamos de calcular ∂ g ∂ u e ∂ g ∂ v . Dessa forma:

∂ g ∂ u = f x ln ⁡ u + f y   1 + v  

∂ g ∂ v = f x u   + f y ( u )

Substituindo:

u 2 ∂ g ∂ u + u ∂ g ∂ v = u ² [ ( f x v ln ⁡ u ) + f y ( v + 1 ) ] + u [ f x u   + f y ( u ) ]

Desenvolvendo isso, temos que:

[ ( f x v ln ⁡ u ) + f y ( v + 1 ) ] = f x 1 + u 2 v ln ⁡ u

+

u f x u   + f y u =   u 2 f y ( v + 2 )

Portanto:

u 2 ∂ g ∂ u + u ∂ g ∂ v = f x 1 + u 2 v ln ⁡ u + u 2 f y ( v + 2 )

E é isso pessoal 😊

Passo 5

Resposta

u 2 ∂ g ∂ u + u ∂ g ∂ v = f x 1 + u 2 v ln ⁡ u + u 2 f y ( v + 2 )

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