Regra da Cadeia, Derivadas Parciais e o Vetor Gradiente
Considere a função , onde é uma função real de uma variável, diferenciável em todo , sendo e constantes. Verifique que para todo :
Passo 1
Ihh... Essas questões que tem “verifique que” já bate um frio na barriga, por que você não tem nem a opção de errar em paz e dizer que “não, a equação não se verifica” XD Mas somos foda pra carai e vamos acertar essas derivadas, né?
Vamos lá, a função que nos deram foi:
Isso significa que é função de que é função de e , show? Como e são as variáveis “mais primordiais” elas aparecem em ainda que esta não seja função diretamente de e ;)
Para verificar a equação dada, precisamos descobrir, então, as derivadas de em relação a e , certo? E, para isso, usaremos a regra da cadeia!
Para a derivada em relação a , teremos:
Ou seja, a derivada da função mais externa, , vezes a derivada da função mais interna, , em relação a .
Da mesma forma, teremos para :
Passo 2
Pronto! Agora que temos e , se tivermos eito tudo certo a relação vai valer :D
Colocando os valores das derivadas, teremos:
Como os termos são opostos, então eles se anulam e, enfim, a relação é realmente válida!
Resposta
A relação é válida