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Exercícios Resolvidos de Derivadas Parciais

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Enunciado

UTFPR, Sem Campus, Cálculo Diferencial e Integral 2, Listas de Cáclulo 2 - Profº Félix Gómez - Primeira Lista, Questão 5.4.6

4] Encontre as derivadas parciais, como se fossem derivadas ordinárias, considerando constantes todas menos uma das variáveis

(6) z = e y x ln ⁡ x 2 y

∂ z ∂ y

Passo 1

Fala aí!! Bem-vindo! Está tendo um pouco de dificuldades nessa questão? Não se preocupe vou fazer o máximo pra te ajudar. 😉👍

Nesse problema, temos que obter a derivada parcial da função z = e y x ln ⁡ x 2 y com relação a y

E aí, tem alguma ideia do que podemos fazer? 🤔

Quando derivamos parcialmente uma função de várias variáveis, temos que fazer as variáveis que não é derivada se comportar como uma constante, assim derivamos normalmente como uma função de uma única variável.

Entendeu? Bora começar! 😁

Passo 2

Temos que derivar z em função de y , ou seja, x se comporta como uma constante.

∂ z ∂ y = ∂ e y x ln ⁡ x 2 y ∂ y

Como temos o produto de duas funções de y , podemos aplicar a regra do produto, lembra dela?

f x = g x · h x → f ' x = g ' x · h x + g x · h ' x

Ou seja

∂ z ∂ y = ∂ e y x ∂ y · ln ⁡ x 2 y + e y x · ∂ ln ⁡ x 2 y ∂ y

Agora, pela regra da cadeia, vamos obter as derivadas de e y x e ln ⁡ x 2 y .

A regra da cadeia é obtida a partir da derivada da função interna multiplicada pela derivada da função externa, veja só

∂ e y x ∂ y = ∂ y x ∂ y · ∂ e u ∂ u = 1 x · e u

∂ e y x ∂ y = 1 x · e y x

Para a outra derivada...

∂ ln ⁡ x 2 y ∂ y = - x 2 y 2 · 1 v = - x 2 y 2 · 1 x 2 y

∂ ln ⁡ x 2 y ∂ y = - 1 y

Substituindo em ∂ z ∂ y ...

∂ z ∂ y = ∂ e y x ∂ y · ln ⁡ x 2 y + e y x · ∂ ln ⁡ x 2 y ∂ y

∂ z ∂ y = 1 x · e y x · ln ⁡ x 2 y + e y x · - 1 y

∂ z ∂ y = e y x 1 x ln ⁡ x 2 y - 1 y

É isso! Essa resolução te ajudou? Responde Aí! ✌

Resposta

∂ z ∂ y = e y x 1 x ln ⁡ x 2 y - 1 y

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