Utilizar a definição para encontrar cada uma das derivadas parciais:

c) f(x, y, z) = x^2 + 4y^2 + 9z^2; D_1 f(x, y, z)

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente calcular a derivada parcial da função em relação x , usando a definição de derivada parcial pra funções de mais de duas variáveis. A gente sabe que essa derivada é em relação a x por causa da notação D 1 f x ,   y ,   z , que corresponde a derivada da primeira variável da função, e que é igual a ∂ ∂ x ( f x ,   y ,   z ).

Bom, para derivadas parciais, em relação a x , essa definição é dada pelo limite:

D 1 f x ,   y ,   z = lim h → 0 ⁡ f x + h ,   y ,   z - f ( x ,   y ,   z ) h

Assim, deixamos somente x variar, mantendo y e z fixos, onde h representa essa variação infinitesimal.

Então, o que precisamos fazer é substituir a função f x ,   y ,   z = x 2 + 4 y 2 + 9 z 2 na definição e verificar o valor do limite quando h → 0 .

Vamos lá!

Passo 2

Vamos começar substituindo x = x + h na função, para obter f x + h ,   y ,   z :

f x + h ,   y ,   z = ( x + h   ) 2 + 4 y 2 + 9 z 2

Abrindo o produto notável:

f x + h ,   y ,   z = x 2 + 2 x h + h 2 + 4 y 2 + 9 z 2

Passo 3

Substituindo o resultado do passo 2 no limite, juntamente com a função f x ,   y ,   z = x 2 + 4 y 2 + 9 z 2 , temos:

D 1 f x ,   y ,   z = lim h → 0 ⁡ f x + h ,   y ,   z - f ( x ,   y ,   z ) h

D 1 f x ,   y ,   z = lim h → 0 ⁡ x 2 + 2 x h + h 2 + 4 y 2 + 9 z 2 - x 2 - 4 y 2 - 9 z 2 h

Simplificando os termos semelhantes:

D 1 f x ,   y ,   z = lim h → 0 ⁡ 2 x h + h 2 h

Colocando h em evidência:

D 1 f x ,   y ,   z = lim h → 0 ⁡ h ( 2 x + h ) h

Simplificando:

D 1 f x ,   y ,   z = lim h → 0 ⁡ ( 2 x + h )

Assim, quando h tende a zero, vamos obter o valor do limite:

D 1 f x ,   y ,   z = 2 x

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

D 1 f x ,   y ,   z = 2 x

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