5] Encontrar as derivadas parciais correspondentes em cada caso

(2) f(x, y, z) = e^(xy) * senh(2z) - e^(xy) * cosh(2z) ; ∂z f(x, y, z)

Passo 1

E aí! Suave na nave?! Tá difícil essa questão? Relaxa que a gente vai te ajudar!

Nesse problema, temos que obter a derivada parcial da função f x , y , z = e x y s e n h 2 z - e x y cosh ⁡ 2 z com relação a z

E aí, tem alguma ideia do que podemos fazer? 🤔

Quando derivamos parcialmente uma função de várias variáveis, temos que fazer as variáveis que não é derivada se comportar como uma constante, assim derivamos normalmente como uma função de uma única variável.

Entendeu? Bora começar! 😁

Passo 2

Temos que derivar f em função de z , ou seja, x e y se comportam como constantes.

∂ z f x , y , z = ∂ e x y s e n h 2 z - e x y cosh ⁡ 2 z ∂ z

∂ z f x , y , z = e x y ∂ s e n h 2 z - cosh ⁡ 2 z ∂ z

∂ z f x , y , z = e x y ∂ s e n h 2 z ∂ z - ∂ cosh ⁡ 2 z ∂ z

Nesse caso, temos funções nos argumentos do s e n h e c o s h , então podemos aplicara regra da cadeia nessas derivadas, ou seja

∂ s e n h 2 z ∂ z = ∂ 2 z ∂ z · ∂ s e n h u ∂ u

Pelo teorema fundamental do cálculo, temos

∂ s e n h 2 z ∂ z = 2 · cosh ⁡ u

∂ s e n h 2 z ∂ z = 2 · cosh ⁡ 2 z

A mesma coisa vamos fazer para cosh ⁡ 2 z

∂ cosh ⁡ 2 z ∂ z = ∂ 2 z ∂ z · ∂ cosh ⁡ u ∂ u

Novamente pelo teorema fundamental do cálculo

∂ cosh ⁡ 2 z ∂ z = 2 · s e n h u

∂ cosh ⁡ 2 z ∂ z = 2 · s e n h 2 z

Substituindo em ∂ z f x , y , z

∂ z f x , y , z = e x y ∂ s e n h 2 z ∂ z - ∂ cosh ⁡ 2 z ∂ z

∂ z f x , y , z = e x y 2 · cosh ⁡ 2 z - 2 · s e n h 2 z

∂ z f x , y , z = 2 e x y cosh ⁡ 2 z - s e n h 2 z

O que achou? Foi de boa? Responde aí! 😊

Resposta

∂ z f x , y , z = 2 e x y cosh ⁡ 2 z - s e n h 2 z

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