Encontre a derivada D₁f(2, 1) onde f(x, y) = x^2 - 9y^2 , aplicando todas as fórmulas conhecidas.

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente calcular a derivada parcial da função em relação x , usando todas as fórmulas conhecidas. Então, vamos usar a definição de derivada parcial e calcular a derivada diretamente, aplicando o resultado no ponto ( 2 ,   1 ) .

A gente sabe que essa derivada é em relação a x por causa da notação D 1 f ( 2 ,   1 ) , que corresponde a derivada da primeira variável da função no ponto ( 2 ,   1 ) , que é igual a ∂ ∂ x   f ( x ,   y )

A definição dessa derivada, em relação a x , é dada pela fórmula:

D 1 f x ,   y = lim h → 0 ⁡ f x + h ,   y - f x ,   y h

Além disso, em um ponto ( x 0 ,   y 0 ) podemos ter a definição de derivada no ponto:

∂ ∂ x f x 0 ,   y 0 = lim x → x 0 ⁡ f x ,   y 0 - f x 0 ,   y 0 x - x 0

A terceira forma possível de calcular é derivando diretamente a função f x ,   y = x 2 - 9 y 2 , sem usar o limite, e depois aplicar o ponto ( 2 ,   1 ) no resultado. Nas três formas, deixamos somente x variar, mantendo y fixo. Então, vamos lá!

Passo 2

Vamos começar substituindo x = x + h na função, para obter f x + h ,   y :

f x + h ,   y = ( x + h   ) 2 - 9 y 2

Abrindo o produto notável:

f x + h ,   y = x 2 + 2 x h + h 2 - 9 y 2

Aplicando esse resultado na definição de derivada, junto com a função f ( x ,   y ) , temos:

D 1 f x ,   y = lim h → 0 ⁡ f x + h ,   y - f x ,   y h

D 1 f x ,   y = lim h → 0 ⁡ x 2 + 2 x h + h 2 - 9 y 2 - x 2 + 9 y 2 h

Simplificando os termos semelhantes:

D 1 f x ,   y = lim h → 0 ⁡ 2 x h + h 2 h

Colocando h em evidência:

D 1 f x ,   y = lim h → 0 ⁡ h ( 2 x + h ) h

Simplificando:

D 1 f x ,   y = lim h → 0 ⁡ ( 2 x + h )

Assim, quando h tende a zero, temos:

D 1 f x ,   y = 2 x

No ponto ( 2 ,   1 ) , temos:

D 1 f 2 ,   1 = 2 2 = 4

Passo 3

Agora vamos aplicar a fórmula:

∂ ∂ x f x 0 ,   y 0 = lim x → x 0 ⁡ f x ,   y 0 - f x 0 ,   y 0 x - x 0

Fazendo x 0 ,   y 0 = ( 2 ,   1 ) , temos:

∂ ∂ x f 2 ,   1 = lim x → 2 ⁡ f x ,   1 - f 2 ,   1 x - 2

Aplicando na função f x ,   y = x 2 - 9 y 2 :

∂ ∂ x f 2 ,   1 = lim x → 2 ⁡ x 2 - 9 1 2 - 2 2 + 9 1 2 x - 2

∂ ∂ x f 2 ,   1 = lim x → 2 ⁡ x 2 - 4 x - 2

Fatorando o numerador:

∂ ∂ x f 2 ,   1 = lim x → 2 ⁡ ( x + 2 ) ( x - 2 ) x - 2

Simplificando:

∂ ∂ x f 2 ,   1 = lim x → 2 ⁡ x + 2

Aplicando o valor do limite, temos:

∂ ∂ x f 2 ,   1 = 2 + 2 = 4

Passo 4

Por fim, vamos derivar f x ,   y = x 2 - 9 y 2 em relação a x , considerando y constante e usando a regra da potência na derivação ( x n ' = n x n - 1 ):

∂ ∂ x f x ,   y = 2 x + 0

Aplicando o ponto ( 2 ,   1 ) , temos:

∂ ∂ x f 2 ,   1 = 2 2 = 4

Em todos os métodos, temos o mesmo resultado, como de fato deveria ser.

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

∂ ∂ x f 2 ,   1 = 4

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