UTFPR, Sem Campus, Cálculo Diferencial e Integral 2, Listas de Cáclulo 2 - Profº Félix Gómez - Primeira Lista, Questão 5.3
Encontre a derivada onde , aplicando todas as fórmulas conhecidas.
Passo 1
Fala, galera! Vamos resolver essa questão!
O enunciado pediu pra gente calcular a derivada parcial da função em relação , usando todas as fórmulas conhecidas. Então, vamos usar a definição de derivada parcial e calcular a derivada diretamente, aplicando o resultado no ponto .
A gente sabe que essa derivada é em relação a por causa da notação , que corresponde a derivada da primeira variável da função no ponto , que é igual a
A definição dessa derivada, em relação a , é dada pela fórmula:
Além disso, em um ponto podemos ter a definição de derivada no ponto:
A terceira forma possível de calcular é derivando diretamente a função , sem usar o limite, e depois aplicar o ponto no resultado. Nas três formas, deixamos somente variar, mantendo fixo. Então, vamos lá!
Passo 2
Vamos começar substituindo na função, para obter :
Abrindo o produto notável:
Aplicando esse resultado na definição de derivada, junto com a função , temos:
Simplificando os termos semelhantes:
Colocando em evidência:
Simplificando:
Assim, quando tende a zero, temos:
No ponto , temos:
Passo 3
Agora vamos aplicar a fórmula:
Fazendo , temos:
Aplicando na função :
Fatorando o numerador:
Simplificando:
Aplicando o valor do limite, temos:
Passo 4
Por fim, vamos derivar em relação a , considerando constante e usando a regra da potência na derivação ():
Aplicando o ponto , temos:
Em todos os métodos, temos o mesmo resultado, como de fato deveria ser.
Valeu, galera! Até a próxima! 😉