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Exercícios Resolvidos de Derivadas Parciais

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Enunciado

UFABC – Funções de Várias Variáveis – Lista de Exercícios 3 – Questão 2b

Determine ∂ f ∂ x , ∂ f ∂ y e ∂ f ∂ z para as seguintes funções de três variáveis

b )   f x , y , z = x 2 + y 2 + z 2 - 1 / 2

Passo 1

Fala galera, tudo bem? Essa questão parece complicada, mas estou aqui para te ajudar! Vamos resolver juntos?

O problema deu essa função aqui de três variáveis:

f x , y , z = x 2 + y 2 + z 2 - 1 / 2

E pediu para calcularmos as derivadas parciais

∂ f ∂ x ,   ∂ f ∂ y , ∂ f ∂ z

Mas como calcular isso?

Quando temos uma função de várias variáveis e queremos descobrir qual é a derivada dela em relação a uma, nós consideramos as outras como constantes! Isso mesmo!

∂ f / ∂ x , por exemplo, vamos considerar y e z como se fossem números, mas sem fazer qualquer conta com eles. Assim vamos derivar APENAS a variável x , conforme todas as regras que já conhecemos

Lembra que derivada de constante é zero!

Mas relaxa, vou fazer passo a passo com você!

Vamos começar?

Passo 2

Vamos começar calculando ∂ f / ∂ x . Nossa função é

f x , y , z = x 2 + y 2 + z 2 - 1 / 2

E vamos considerar y e z como constantes! Assim é como se fosse derivada de potência normal! Mas com regra da cadeia, pois temos uma potência dentro de outra!

Então a derivada não é aplicada no y e no z! Só na parte em x :

∂ f ∂ x = - 1 2 x 2 + y 2 + z 2 - 3 2 . ( 2 x )

Aí a derivada parcial é:

∂ f ∂ x = - x x 2 + y 2 + z 2 3 / 2

E é isso! Beleza?

Agora vamos calcular as outras parciais? Bora lá!

Passo 3

Agora vamos considerar x e z constantes!

A função é:

f x , y , z = x 2 + y 2 + z 2 - 1 / 2

Derivando somente em y :

∂ f ∂ y = - 1 2 x 2 + y 2 + z 2 - 3 2 . ( 2 y )

Aí a derivada parcial é:

∂ f ∂ y = - y x 2 + y 2 + z 2 3 / 2

Tranquilo até aqui?

Passo 4

Vamos calcular a última parcial? Para essa última vamos considerar x e y constantes!

Nossa função é

f x , y , z = x 2 + y 2 + z 2 - 1 / 2

Agora derivando APENAS em z :

∂ f ∂ z = - 1 2 x 2 + y 2 + z 2 - 3 2 . ( 2 z )

Aí a derivada parcial é:

∂ f ∂ z = - z x 2 + y 2 + z 2 3 / 2

E é isso pessoal! Espero ter ajudado!

Resposta

∂ f ∂ x = - x x 2 + y 2 + z 2 3 / 2

∂ f ∂ y = - y x 2 + y 2 + z 2 3 / 2

∂ f ∂ z = - z x 2 + y 2 + z 2 3 / 2

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