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Exercícios Resolvidos de Derivadas Parciais

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Enunciado

UTFPR, Sem Campus, Cálculo Diferencial e Integral 2, Listas de Cáclulo 2 - Profº Félix Gómez - Primeira Lista, Questão 5.14

14] Mostre que u x , t = F 2 x + 5 t + P 2 x - 5 t é uma solução geral da equação em derivadas parciais,

4 ∂ t 2 u x , t = 25 ∂ x 2 u x , t

Também encontre a solução particular satisfazendo as condições u 0 , t = u π , t = 0 , u x , 0 = s e n 2 x , ∂ t u x , 0 = 0 .

Passo 1

Iae! Como vai, meu querido? 😁 Bora aprender mais uma questão? 😉

Nesse problema temos que provar que u x , t = F 2 x + 5 t + P 2 x - 5 t é a geral solução da equação 4 ∂ t 2 u x , t = 25 ∂ x 2 u x , t

E também temos que obter a solução particular que satisfaz as condições u 0 , t = u π , t = 0 , u x , 0 = s e n 2 x e ∂ t u x , 0 = 0 .

E aí, sacou o que temos que fazer? 🤔

A função u está relacionada diretamente com a função F 2 x + 5 t + P 2 x - 5 t assim, chamando 2 x + 5 t de α e 2 x - 5 t de β , temos

u x , y = F α + P β

Portanto para derivar u em relação a alguma variável, temos que aplicar a regra da cadeia.

Consegue ver isso? Vamos ver na prática! 😎

Passo 2

Vamos começar derivando u com relação a x

∂ x u = ∂ u ∂ x

Mas como u x , y = F α + P β …

∂ x u = ∂ u ∂ x = ∂ F α ∂ x + ∂ P β ∂ x

Aplicando a regra da cadeia

∂ x u = ∂ α ∂ x ∂ F ∂ α + ∂ β ∂ x ∂ P ∂ β

Se α = 2 x + 5 t e β = 2 x - 5 t , então

∂ x u = ∂ 2 x + 5 t ∂ x ∂ F ∂ α + ∂ 2 x - 5 t ∂ x ∂ P ∂ β

∂ x u = 2 ∂ F ∂ α + 2 ∂ P ∂ β

Derivando o resultado novamente com relação a x

∂ x 2 y = ∂ 2 ∂ F ∂ α ∂ x + ∂ 2 ∂ P ∂ β ∂ x

∂ x 2 y = 2 ∂ α ∂ x ∂ 2 F ∂ α 2 + 2 ∂ β ∂ x ∂ 2 P ∂ β 2

∂ x 2 y = 4 ∂ 2 F ∂ α 2 + 4 ∂ 2 P ∂ β 2

Tranquilo até aqui? 😉

Passo 3

Agora vamos fazer o mesmo com relação a t

∂ t u = ∂ u ∂ t = ∂ F α ∂ t + ∂ P β ∂ t

∂ t u = ∂ α ∂ t ∂ F ∂ α + ∂ β ∂ t ∂ P ∂ β

Substituindo α e β

∂ t u = ∂ 2 x + 5 t   ∂ t ∂ F ∂ α + ∂ 2 x - 5 t   ∂ t ∂ P ∂ β

∂ t u = 5 ∂ F ∂ α - 5 ∂ P ∂ β

Derivando novamente com relação a t

∂ t 2 u = ∂ 5 ∂ F ∂ α ∂ t - ∂ 5 ∂ P ∂ β ∂ t

∂ t 2 u = 5 ∂ α ∂ t ∂ 2 F ∂ α 2 - 5 ∂ β ∂ t ∂ 2 P ∂ β 2

∂ t 2 u = 25 ∂ 2 F ∂ α 2 + 25 ∂ 2 P ∂ β 2

Substituindo ∂ x 2 u e ∂ t 2 u na equação do problema, temos

4 ∂ t 2 u x , t = 25 ∂ x 2 u x , t

4 25 ∂ 2 F ∂ α 2 + 25 ∂ 2 P ∂ β 2 = 25 4 ∂ 2 F ∂ α 2 + 4 ∂ 2 P ∂ β 2

100 ∂ 2 F ∂ α 2 + ��� 2 P ∂ β 2 = 100 ∂ 2 F ∂ α 2 + ∂ 2 P ∂ β 2

Portanto a igualdade foi satisfeita!

Passo 4

Por fim, encontrando uma solu��ão que satisfaça as condições u 0 , t = u π , t = 0 , u x , 0 = s e n 2 x e ∂ t u x , 0 = 0

Temos que obter uma função onde a derivada de u com relação a t em t = 0 seja igual a 0 , quando x = 0 ou x = π o resultado seja 0 e quando t = 0 , u = s e n 2 x .

Se fizermos u x , t = s e n 2 x cos ⁡ 5 t , vamos testar as condições...

u 0 , t = s e n 2 0 cos ⁡ 5 t = 0

u 0 , t = s e n 2 π cos ⁡ 5 t = 0

A primeira condição confere!

u x , 0 = s e n 2 x cos ⁡ 5 0 = s e n 2 x

A segunda condição confere!

∂ t u x , 0 = ∂ s e n 2 x cos ⁡ 5 t ∂ t

Aplicando a regra da cadeia...

∂ t u x , 0 = s e n 2 x ∂ 5 t ∂ t ∂ cos ⁡ m ∂ m

∂ t u x , 0 = s e n 2 x 5 - s e n m

∂ t u x , 0 = - 5 s e n 2 x s e n 5 t

Fazendo t = 0

∂ t u x , 0 = - 5 s e n 2 x s e n 5 0 = 0

Portanto, todas as condições foram satisfeitas! 😁

Passo 5

Ainda temos que verificar se essa função satisfaz a equação do problema

4 ∂ t 2 u x , t = 25 ∂ x 2 u x , t

Derivando u parcialmente em t

∂ t u x , t = ∂ s e n 2 x cos ⁡ 5 t ∂ t = - 5 s e n 2 x s e n 5 t

Derivando o resultado em função de t novamente

∂ t 2 u x , t = ∂ - 5 s e n 2 x s e n 5 t ∂ t = - 5 s e n 2 x ∂ s e n 5 t ∂ t

∂ t 2 u x , t = - 25 s e n 2 x cos ⁡ 5 t

Fazendo o mesmo processo com relação a x

∂ x u x , t = ∂ s e n 2 x cos ⁡ 5 t ∂ x = 2 cos ⁡ 2 x cos ⁡ 5 t

Derivando o resultado novamente em x

∂ x 2 u x , t = ∂ 2 cos ⁡ 2 x cos ⁡ 5 t ∂ x = - 4 s e n 2 x cos ⁡ 5 t

Substituindo os resultados na equação...

4 ∂ t 2 u x , t = 25 ∂ x 2 u x , t

4 - 25 s e n 2 x cos ⁡ 5 t = 25 - 4 s e n 2 x cos ⁡ 5 t

- 100 s e n 2 x cos ⁡ 5 t = - 100 s e n 2 x cos ⁡ 5 t

Pegou o esquema? Responde Aí! 😁

Resposta

100 ∂ 2 F ∂ α 2 + ∂ 2 P ∂ β 2 = 100 ∂ 2 F ∂ α 2 + ∂ 2 P ∂ β 2

u x , t = s e n 2 x cos ⁡ 5 t

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