Calcule as derivadas parciais de primeira ordem de:

(e) f(x, y, z) = raiz(x^2 + y^3 - z^4)

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente calcular as derivadas parciais de primeira ordem da função f ( x ,   y ) . Então, vamos calcular:

∂ f x ,   y ∂ x       ,     ∂ f x ,   y ∂ y         e         ∂ f x ,   y ∂ z

Que são as derivadas parciais da função em relação a x , em relação a y e em relação a z , respectivamente.

Vamos lá!

Passo 2

Nossa função é dada pela integral definida:

f x ,   y ,   z = x 2 + y 3 - z 4

Então, derivando primeiro em relação a x , usando a regra da cadeia, temos:

∂ f x ,   y ∂ x = 1 2 x 2 + y 3 - z 4 ∂ ∂ x x 2 + y 3 - z 4

∂ f x ,   y ∂ x = 1 2 x 2 + y 3 - z 4 ∙ 2 x

Simplificando:

∂ f x ,   y ∂ x = x x 2 + y 3 - z 4

Passo 3

Da mesma forma, vamos derivar nossa função em relação a y :

∂ f x ,   y ∂ y = 1 2 x 2 + y 3 - z 4 ∂ ∂ y x 2 + y 3 - z 4

∂ f x ,   y ∂ y = 1 2 x 2 + y 3 - z 4 ∙ 3 y 2

Simplificando:

∂ f x ,   y ∂ y = 3 y 2 2 x 2 + y 3 - z 4

Passo 4

Por fim, vamos derivar em relação a z :

∂ f x ,   y ∂ z = 1 2 x 2 + y 3 - z 4 ∂ ∂ y x 2 + y 3 - z 4

∂ f x ,   y ∂ z = 1 2 x 2 + y 3 - z 4 ∙ ( - 4 z 3 )

Simplificando:

∂ f x ,   y ∂ z = - 2 z 3 x 2 + y 3 - z 4

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

∂ f x ,   y ∂ x = x x 2 + y 3 - z 4

∂ f x ,   y ∂ y = 3 y 2 2 x 2 + y 3 - z 4

∂ f x ,   y ∂ z = - 2 z 3 x 2 + y 3 - z 4

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