USP – Sem Campus – Cálculo 2 – Provas Antigas – P1 – IME – 2021.2 – Questão 5
Seja dada por . O valor de é _____.
O valor de é ______.
Passo 1
Eaew, belezinha?
Aqui o enunciado nos dá uma função que leva de um par de coordenadas para um valor único real, sendo o maior valor entre as duas coordenadas, e nos pede para calcular as derivadas parciais em dois pontos específicos. Para resolver esta que relembrar a definição de derivadas parciais, ela é dada como
Teremos uma expressão análoga para . A derivada parcial apenas existe no ponto estabelecido quando o limite acima existe. Vamos tentar avaliar isso!
Passo 2
Como essa é uma derivada parcial, e estamos apenas interessados na derivada em relação a , não precisamos analisar a função como um todo. Os pontos em que foram avaliados a derivadas tem ambos coordenada , portanto, só precisamos nos podemos analisar uma função do tipo
Se a derivada e existirem, então ambas minhas derivadas parciais existem. Mas note que isso agora se torna uma derivada simples, já que temos apenas uma variável. Portanto, a derivada é obtida por:
Vamos partir daqui!
Passo 3
No ponto , temos , portanto
E usando que . Temos
A segunda função máxima sempre dará , mas a primeira irá depender se estou analisando o sistema pela direita ou pela esquerda! Saca só!
Passo 4
Se realizo limite pela esquerda, tenho que , portanto, a função máxima me escolhe o valor . Se realizo o limite pela direita, tenho que , portanto, a função máxima me escolhe o valor , pois agora temos valores negativos nas coordenadas . Isso é importante, pois
Como os limites laterais são diferentes, temos que a derivada não existe! Ou seja, é inexistente! Vamos analisar agora o outro ponto!
Passo 5
Se pegarmos agora o ponto , temos
A segunda função máxima sempre nos dará o valor , no entanto, a primeira função escolherá agora sempre o valor , contanto, que , e, uma vez que , isto está garantido. Portanto, nosso limite toma a forma
Que simplificando nos garante que
Independentemente do lado em que o limite é tomado. Portanto
A questão é isso! Te vejo na próxima! Tchauzinho!