UTFPR, Sem Campus, Cálculo Diferencial e Integral 2, Listas de Cáclulo 2 - Profº Félix Gómez - Primeira Lista, Questão 5.4.2
Encontre as derivadas parciais, como se fossem derivadas ordinárias, considerando constantes todas menos uma das variáveis.
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Passo 1
Fala, galera! Vamos resolver essa questão!
O enunciado pediu pra gente calcular a derivada parcial da função em relação , como se fossem derivadas ordinárias. Isso quer dizer que vamos variar apenas e considerar as outras variáveis como constantes na derivação.
A gente sabe que essa derivada é em relação a por causa da notação , que corresponde a derivada da primeira variável da função, e também pode ser escrita na forma .
Para a função , vamos precisar aplicar a Regra da Cadeia na derivação também. Derivando a função de fora aplicada na função de dentro e multiplicando pela derivada da função de dentro.
Vamos lá!
Passo 2
Vamos começar derivando em relação a , considerando constante:
Vamos derivar usando a regra do quociente (derivada do numerador vezes o denominador, menos derivada do denominador vezes o numerador, sobre o denominador ao quadrado):
Em , derivamos usando a regra da potência (), considerando constante. E em , derivamos usando a Regra da Cadeia. Assim, temos:
Simplificando:
Tirando o M.M.C no numerador e fazendo a divisão de frações, temos:
Vamos simplificar os termos semelhantes novamente:
Colocando em evidência no numerador e fatorando o produto notável no denominador, temos:
Simplificando, temos nosso resultado:
Valeu, galera! Até a próxima! 😉