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Exercícios Resolvidos de Derivadas Parciais

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Enunciado

UTFPR, Sem Campus, Cálculo Diferencial e Integral 2, Listas de Cáclulo 2 - Profº Félix Gómez - Primeira Lista, Questão 5.6

6] Dada a função u r , t = s e n r t + ln ⁡ t r . Verifique se satisfaz a equação diferencial em derivadas parciais,

t ∂ u ∂ t + r ∂ u ∂ r = 0

Passo 1

Iae, meus queridos! Está com dificuldades nessa questão? Não se preocupe! Estamos aqui para ajudar 😉

Nesse problema foi dada uma função u r , t = s e n r t + ln ⁡ t r e nosso objetivo é verificar se essa função satisfaz a equação t ∂ u ∂ t + r ∂ u ∂ r = 0

E aí, como vamos fazer isso? 🤔

Essa equação diz que a soma entre t multiplicado pela derivada parcial de u com relação a t e r multiplicado pela derivada parcial de u com relação a r é igual a 0 .

A derivada parcial de uma função em relação a uma variável é obtida derivando essa função normalmente considerando as outras variáveis como constantes.

Sacou? Bora começar! 😉

Passo 2

Primeiro vamos obter a derivada parcial de u com relação a t . Nesse caso, vamos considerar r como uma constante.

∂ u ∂ t = ∂ s e n r t + ln ⁡ t r ∂ t = ∂ s e n r t ∂ t + ∂ ln ⁡ t r ∂ t

Pela regra da cadeia, vamos obter que

∂ s e n r t ∂ t = ∂ r t ∂ t ∂ s e n u ∂ u

∂ s e n r t ∂ t = - r t 2 cos ⁡ u

Voltando u para r t ...

∂ s e n r t ∂ t = - r t 2 cos ⁡ r t

Fazendo o mesmo para a derivada do segundo termo...

∂ ln ⁡ t r ∂ t = ∂ t r ∂ t ∂ ln ⁡ v ∂ v

∂ ln ⁡ t r ∂ t = 1 r 1 v

Voltando v para r / t e substituindo em ∂ u ∂ t

∂ ln ⁡ t r ∂ t = 1 r 1 t r = 1 t

∂ u ∂ t = - r t 2 cos ⁡ r t + 1 t

Tranquilo até aqui? 👀

Passo 3

Agora vamos derivar u com relação a r , então nesse caso, t se comporta como uma constante.

∂ u ∂ r = ∂ s e n r t + ln ⁡ t r ∂ r = ∂ s e n r t ∂ r + ∂ ln ⁡ t r ∂ r

Novamente aplicando a regra da cadeia, vamos obter

∂ s e n r t ∂ r = ∂ r t ∂ r ∂ s e n u ∂ u

∂ s e n r t ∂ r = 1 t cos ⁡ u

Voltando u para r t

∂ s e n r t ∂ r = 1 t cos ⁡ r t

Derivando o outro termo pelo mesmo método...

∂ ln ⁡ t r ∂ r = ∂ t r ∂ r ∂ ln ⁡ v ∂ v

∂ ln ⁡ t r ∂ r = - t r 2 1 v

Voltando v para t / r

∂ ln ⁡ t r ∂ r = - t r 2 1 t r

∂ ln ⁡ t r ∂ r = - 1 r

Bacana, não é? 😎

Passo 4

Substituindo em ∂ u ∂ r ...

∂ u ∂ r = 1 t cos ⁡ r t - 1 r

Agora substituindo ∂ u ∂ t e ∂ u ∂ r na equação do problema, vamos obter

t ∂ u ∂ t + r ∂ u ∂ r = 0

t - r t 2 cos ⁡ r t + 1 t + r 1 t cos ⁡ r t - 1 r = 0

- r t cos ⁡ r t + 1 + r t cos ⁡ r t - 1 = 0

0 = 0

É isso, espero ter ajudado! Entendeu tudo? Responde Aí! 😎👍

Resposta

t - r t 2 cos ⁡ r t + 1 t + r 1 t cos ⁡ r t - 1 r = 0

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