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Exercícios Resolvidos de Derivadas Parciais

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Enunciado

Origem do Exercício

Encontre ∂ f ∂ x e ∂ f ∂ y para a função f x , y = x + y ( x y - 1 )

  1. ∂ f ∂ x = - y - 1 x y - 1 2   e ∂ f ∂ y = - x - 1 x y - 1 2
  2. ∂ f ∂ x = - y 2 - 1 ( x y - 1 )   e ∂ f ∂ y = - x 2 - 1 ( x y - 1 )
  3. ∂ f ∂ x = - y 2 - 1 x y - 1 2   e ∂ f ∂ y = - x 2 - 1 x y - 1 2
  4. ∂ f ∂ x = - y 3 x y - 1 2   e ∂ f ∂ y = - x 3 x y - 1 2
  5. ∂ f ∂ x = - y 2 - 1 ( x y - 1 )   e ∂ f ∂ y = - x 2 - 1 x y + 1 2

Passo 1

Para achar as derivadas dessa função, vamos ter que lembrar da fórmula para a derivada do quociente.

Vamos supor que você tenha uma função assim:

f x , y = h x , y i x , y

Como fica a derivada parcial de h ( x , y ) em relação a UMA das duas variáveis? Vamos fazer a do x , por exemplo:

∂ f ∂ x = ∂ h x , y ∂ x i x , y - ∂ i x , y ∂ x h ( x , y ) i x , y 2

Ok, vamos aplicar essa fórmula.

Passo 2

Começamos procurando a derivada parcial em relação a x . No nosso caso temos h x , y = x + y e i x , y = ( x y - 1 ) .

As derivas parciais de cada uma dessas funções é:

∂ h x , y ∂ x = ∂ ∂ x x + y = 1

∂ i x , y ∂ x = ∂ ∂ x x y - 1 = y

Agora podemos substituir na fórmula para achar a derivada:

∂ f ∂ x = ∂ h x , y ∂ x i x , y - ∂ i x , y ∂ x h ( x , y ) i x , y 2

∂ f ∂ x = ( 1 ) ( x y - 1 ) - ( y ) ( x + y ) x y - 1 2 = x y - 1 - y x - y 2 x y - 1 2 = - y 2 - 1 x y - 1 2  

Pronto, encontramos a derivada parcial em relação a x :

∂ f ∂ x = - y 2 - 1 x y - 1 2  

Passo 3

Agora podemos fazer o mesmo procedimento em relação a y :

∂ h x , y ∂ y = ∂ ∂ y x + y = 1

∂ i x , y ∂ y = ∂ ∂ y x y - 1 = x

Substituindo na fórmula para achar a derivada:

∂ f ∂ y = ∂ h x , y ∂ y i x , y - ∂ i x , y ∂ y h ( x , y ) i x , y 2

∂ f ∂ y = ( 1 ) ( x y - 1 ) - ( x ) ( x + y ) x y - 1 2 = x y - 1 - x 2 - x y x y - 1 2 = - x 2 - 1 x y - 1 2  

E então a derivada parcial em relação a y é:

∂ f ∂ y = - x 2 - 1 x y - 1 2

Resposta

Letra (c).

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