Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Exercícios Resolvidos de Derivadas Parciais

Ver Teoria
Exercício 621234567891011121314151617181920212223242526272829303132333435363738394041424344454647484950515253545556575859606163646566676869707172737475767778798081828384858687888990919293949596979899100

Enunciado

UFF, Sem Campus, Cálculo IIB, P1 - Prof. Jorge Delgado - 2023 - Verão, Questão 4.

4 – O índice de sensação térmica é modelado pela função

W T , v = 15 + 3 5 T + 3 8 T v 1 6 - 11 v 1 6

Onde T é a temperatura (em ° C ) e v é a velocidade do vento (em k m / h ). Às 15:30h num determinado lugar de Niterói, no dia 26 de janeiro de 2023, se medem v = 30 k m / h , com possível erro de ± 2 k m / h e T = 35 ° C com possível erro de ± 1 ° C . Estime o erro máximo cometido no valor calculado de W em decorrência dos erros de v e T . Calcule aproximadamente W para T = 36 ° C e v = 34 k m / h usando a estimativa para o erro máximo.

Passo 1

Fala aí!! Bem-vindo! Está tendo um pouco de dificuldades nessa questão? Não se preocupe vou fazer o máximo pra te ajudar. 😉👍

Nessa questão estamos interessados em calcular o erro gerado em W devido aos erros nas medições de T e v .

Se W T , v = 15 + 3 5 T + 3 8 T v 1 6 - 11 v 1 6 , T 0 = 35 ° C com ± 1 ° C e v 0 = 30 k m / k com ± 2 k m / h , então como será o erro máximo de W ?

O erro de uma função é dado por

d W = ∂ W T 0 , v 0 ∂ T d T + ∂ W T 0 , v 0 ∂ v d v

Portanto, o que temos que fazer é calcular a derivada de W com relação a T e a v , aplicar os pontos T 0 e v 0 e substituir d T e d v como a margem de erro para as medições de T e v .

Sacou? Bora começar!

Passo 2

Pelo método de derivação polinomial, temos

∂ W ∂ T = 3 5 + 3 8 v 1 6

∂ W ∂ v = 3 8 T 1 6 v 1 6 - 1 - 11 1 6 v 1 6 - 1 = 1 16 T v - 5 6 - 11 6 v - 5 6

Aplicando os pontos T 0 e v 0 ...

∂ W T 0 , v 0 ∂ T = 3 5 + 3 8 30 1 6 ≅ 1,26

∂ W T 0 , v 0 ∂ v = 1 16 35 30 - 5 6 - 11 6 30 - 5 6 ≅ 0,02

Se a variação em T é de ± 1 ° C , então d T = 1 e se a variação de v é ± 2 k m / h , então d v = 2

Dessa forma o erro máximo é dado por

d W = 1,26 · 1 + 0,02 · 2

d W = 1,3 ° C

Tranquilo até aqui? 😁

Passo 3

Pra finalizar, vamos estimar a sensação térmica para T 0 = 36 ° C e v 0 = 34 k m / h com os mesmos valores de erros de antes.

∂ W T 0 , v 0 ∂ T = 3 5 + 3 8 34 1 6 = 1,27

∂ W T 0 , v 0 ∂ v = 1 16 3 6 3 4 - 5 6 - 11 6 3 4 - 5 6 ≅ 0,02

Substituindo em W

W 36,34 = 15 + 3 5 36 + 3 8 36 34 1 6 - 11 34 1 6

W 36,34 = 41,10 ° C

Com estimativa de erro em

d W = 1,2 7 · 1 + 0,02 · 2

d W = 1,37 ° C

É isso! Essa resolução te ajudou? Responde Aí! ✌

Resposta

d W = 1,3 ° C

W 36,34 = 41,10 ° C

d W = 1,37 ° C

Exercícios de Livros Relacionados

Encontrar a inclinação da reta tangente à curva resultante da intersecção de z = f ( x , y ) com o plano x = x 0 no ponto P ( x 0 , y 0 ,z 0 ) .a) z = x 2 + y 2 - 1 ; P ( 1 ,- 1 ,1 )
Mostre que a função produção de Cobb-Douglas satisfaz P L , K 0 = C 1 K 0 L α resolvendo a equação diferencial d P d L = α P L
No estudo de penetração do congelamento descobriu-se que a temperatura T no instante t (medido em dias) a uma profundidade x (medida em pés) pode ser modelada pela função T ( x , t ) = T 0 + T 1 e - λ
80. A temperatura em um ponto x ,y de uma chapa de metal é dada por T x ,y = 60 / ( 1 + x 2 + y 2 ) , onde T é medido em ° C e x , y em metros. Determine a taxa de variação da temperatura no ponto 1 ,
Seja ϕ : R → R uma função diferenciável tal que ϕ ' 3 = 4 . Seja g x , y , z = ϕ x 2 + y 2 + z 2 . Calcule:a) ∂ g ∂ x 1,1 , 1 b) ∂ g ∂ y 1,1 , 1 c) ∂ g ∂ z 1,1 , 1