Derivadas Parciais e o Vetor Gradiente, Regra da Cadeia
Seja , em que é uma função diferenciável de uma variável real. Mostre que .
Passo 1
Simples aplicação da regra da cadeia, e dessa vez, ainda bem, são só as primeiras derivadas parciais!
Nossa função é:
Se derivarmos em relação a , só tratar como constante:
Coloquei esse aí multiplicando só pra ilustrar que usamos a regra da cadeia, derivando a função de fora, , e depois a de dentro em relação a , .
Passo 2
Agora, vamos derivar em relação a , tratando como constante, usando a regra do produto entre as funções e , e usando a regra da cadeia na função . Fica assim:
Aqui o que fizemos foi multiplicar a derivada da primeira função pela a segunda, somada à derivada da segunda função vezes a primeira.
Derivando a segunda função:
E, por fim, a deriva em relação a fica:
Passo 3
Agora é só somar as duas derivadas parciais e ver que da a função :