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Exercícios Resolvidos de Derivadas Parciais

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Enunciado

Regra da Cadeia, Derivadas Parciais e o Vetor Gradiente

Considere a função u x , y = f x 2 - y 2 , em que z = f t é uma função real de uma variável diferenciável. Verifique se vale a seguinte equação:

y δ u δ x + x δ u δ y = 0

Passo 1

Vamos lá, para ver se essa relação é válida, precisamos descobrir δ u δ x e δ u δ y , certo? Como nos foi dado u x , y , então é só derivar essa função u em relação a x e y :D

u x , y = f x 2 - y 2

Como pode ver, a função u é a função f com argumento x 2 - y 2 , e, assim, precisamos usar a regra da cadeia! Fazendo a derivada da função mais externa, no caso f , e multiplicando pela derivada parcial da função mais interna, no caso x 2 - y 2 , teremos,

Para a derivada em relação a x :

u x x , y = f ' x 2 - y 2 . 2 x

Para a derivada em relação a y :

u y x , y = f ' x 2 - y 2 . - 2 y

Passo 2

Agora que temos u x e u y , só colocar na fórmula que queremos averiguar!

y δ u δ x + x δ u δ y = 0

Colocando os valores que encontramos,

y . f ' x 2 - y 2 . 2 x + x . f ' x 2 - y 2 . - 2 y = 0

2 x y . f ' x 2 - y 2 - 2 x y . f ' x 2 - y 2 = 0

E essa expressão é verdadeira, pois os termos realmente se anulam :D Pronto, fechou!

Resposta

A relação é verdadeira

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