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Exercícios Resolvidos de Derivadas Parciais

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Enunciado

UFABC – Funções de Várias Variáveis – Lista de Exercícios 3 – Questão 3b

Encontre as derivadas parciais indicadas

b )   z = e a x c o s ⁡ ( b x + y ) ; z y 2 π b , 0

Passo 1

Fala galera, tudo bem? Essa questão parece complicada, mas estou aqui para te ajudar! Vamos resolver juntos?

O problema deu essa função aqui de duas variáveis:

z = e a x c o s ⁡ ( b x + y )

E pediu para calcularmos a derivada parcial de z em relação a y :

z y =   ∂ z ∂ y

Mas como calcular isso?

Quando temos uma função de várias variáveis e queremos descobrir qual é a derivada dela em relação a uma, nós consideramos as outras como constantes! Isso mesmo!

∂ z / ∂ x , por exemplo, vamos considerar y como se fosse um número, mas sem fazer qualquer conta com eles. Assim vamos derivar APENAS a variável x , conforme todas as regras que já conhecemos

Mas relaxa, vou fazer passo a passo com você!

Vamos começar?

Passo 2

Vamos começar calculando ∂ z ∂ y . Nossa função é

z = e a x c o s ⁡ ( b x + y )

E vamos considerar x como constante! Assim é como se fosse uma regra da cadeia! Você precisa deixar aquele e a x do jeitinho que ele está: x ali é constante e nessa derivada essa exponencial funciona como um número! Tudo bem?

Aí a derivada parcial é:

∂ z ∂ y = e a x - s e n b x + y . 1

∂ z ∂ y = - e a x s e n ( b x + y )

Beleza? Guarda esse resultado!

Passo 3

E acabou? Não!

E problema não só pediu para calcularmos a parcial em um ponto específico:

∂ z ∂ y 2 π b , 0

Então vamos usar o resultado que guardamos e aplicar no ponto dado! A parcial que calculamos:

∂ z ∂ y = - e a x s e n ( b x + y )

Agora aplicando em 2 π b , 0 :

∂ z ∂ y 2 π b , 0 = - e 2 π a b s e n b . 2 π b + 0 = - e 2 π a b s e n 2 π

∂ z ∂ y 2 π b , 0 = 0

Agora sim, terminamos!

E é isso pessoal! Espero ter ajudado!

Resposta

∂ z ∂ y 2 π b , 0 = 0

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