Uma corda de comprimento L presa nas extremidades x = 0 e x = L , submetida a uma tensão de 96 N , oscila no terceiro harmônico de uma onda estacionária. O deslocamento transversal da corda é dada por:

y x , t = 5 s e n π 2 x s e n 6 π t

Onde x e y são dados em metros e t em segundos.

  1. Qual é o comprimento L da corda?
  2. Qual é a massa da corda?
  3. Calcule a velocidade transversal máxima de um ponto situado sobre o ventre de uma corda.
  4. Se a corda oscilar no quinto harmônico, qual será o período de oscilação?

Passo 1

a):

Primeiro passo é descobrir qual o comprimento da onda nesse harmônico. Comparando a expressão com uma das expressões gerais das ondas estacionárias:

y x , t = A s e n k x s e n ω t

Podemos perceber que:

k = π 2   m - 1

E:

ω = 6 π   r a d / s

Mas agora vamos usar só o k .Sendo :

k = 2 π λ   → λ = 2 π k = 2 π π 2 = 4   m

Então, como estamos no terceiro harmônico:

L = n λ 2   → L = 3 . λ 2 = 3 . 4 2 = 6 m

Passo 2

b):

Vamos combinar trêss fórmulas aqui:

v = T μ

E:

k v = ω

μ = m L

Bom, a gente já sabe o k e o ω , então:

k v = ω   → v = ω k = 6 π π 2 = 12   m / s

Então:

v = T μ   →   μ = T v 2 = 96 12 2 = 96 144

Só que:

μ = m L → m = μ L = 6 . 96 144 = 4   k g  

Passo 3

c):

A velocidade transversal de um ponto situado sobre o vente de uma corda é dada pela derivada da função y ( x , t ) em relação ao tempo:

∂ y x , t ∂ t = 5 s e n π 2 x 6 π cos ⁡ 6 π t = 30 π s e n π 2 x cos ⁡ 6 π t = v y

Beleza, mas agora precisamos analisar uma coisa: em que pontos de x ocorrem os ventres?

Você quer descobrir isso? E se eu disser que não precisa pra resolver essa questão?

Cara, o que precisamos descobrir é a velocidade máxima de um ponto do ventre. Para isso, basta a gente perceber que, nos ventres, o deslocamento vertical é máximo. Então a primeira consequência é:

s e n π 2 x = 1

Além disso:

cos ⁡ 6 π t = 1

Por que a velocidade é máxima no tempo também (:.

Então:

v y m á x = 30 π . 1.1 = 30 π   m / s

Passo 4

d):

Vamos usar aqui a expressão pras frequências dos harmônicos, que pode ser obtida assim:

L = n . λ n 2 → 2 L n = λ n

E:

v = λ f   → f n = v λ n = v 2 L n = n v 2 L

Então, a frequência do 5 ° Harmônico será:

f 5 = 5.12 2.6 = 5   H z

Logo, como o período é o inverso da frequência:

T 5 = 1 f = 1 5 = 0,20 s

Resposta

a):

L = 6 m

b):

m = 4   k g  

c):

v y m á x = 30 π   m / s

d):

T 5 = 0,20 s

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