I-Uma onda estacionária transversal em uma corda longa possui um antinó em x = 0 e um nó vizinho em x = 0,10   m . A figura ao lado mostra o deslocamento   y ( 0 , t ) da partícula da corda situada em x   =   0 .

  1. Obtenha o comprimento de onda, o período e a máxima amplitude das oscilações na corda.
  2. Escreva a função y ( 0 , t ) representada no gráfico, especificando valores numéricos das constantes e suas unidades.
  3. Obtenha a função y ( x , t ) que representa a onda (vibração) estacionária (especificando valores numéricos das constantes e suas unidades).
  4. Faça o desenho da corda no instante t   =   0,50   s no intervalo de x = 0 a x   =   0,40   m .
  5. Obtenha a função que descreve a velocidade transversal das partículas da corda e calcule a velocidade da partícula situada em x   =   0,20   m no instante t   =   0,50   s .

Passo 1

a): A máxima amplitude de oscilação e o período podem ser vistos a partir do gráfico. Como o gráfico mostra um perfil completo de uma onda, o valor de T vai ser o último valor de tempo que aparece:

T = 2,0 s

O valor máximo de amplitude é o maior valor de y :

A = 4,0 c m

Já o valor de λ pode ser obtido se percebemos que:

λ = 4 d n ó   a n t i n ó

Ou seja, o comprimento é quatro vez a distância de um nó e seu antinó. Então:

λ = 4 . 0,1 = 0,4   m

Passo 2

b):

O modelo padrão pra uma onda é:

y x , t = A c o s k x ∓ ω t + φ

Como x = 0 :

y 0 , t = A c o s ( ∓ ω t + φ )

Porém, o gráfico é como um gráfico do seno de um ângulo, só que invertido. Então:

y 0 , t = - A s e n ( ω t )

Como:

y m = 4 c m = 0,04 m

E:

T = 2,0 s   → ω = 2 π T = 2 π 2 = π   r a d / s

Então:

y 0 , t = - 0,04 s e n π t m

Passo 3

c):

Como a função apresenta um máximo em x = 0 , ou seja, um antinó, a função que tem o x tem que ser um cosseno já que:

cos ⁡ k x

x = 0 → cos ⁡ 0 = 1

Então, como a fórmula tem que ter seno, como vimos no item anterior:

y x , t = - 0,04 cos ⁡ k x s e n ω t m

Sendo:

k = 2 π λ = π 0,4 = 5 π

E:

ω = π   r a d / s

E:

y x , t = - 0,04 cos ⁡ 5 π x s e n ( ω t )

Passo 4

d):

Passo 5

e):

Pra calcular a velocidade, basta a gente derivar a função do item c) em relação ao tempo:

u x , t = ∂ y x , t ∂ t = - 0,04 π cos ⁡ 5 π x cos ⁡ π t

Para:

x = 0,20

t = 0,50 s

u 0,2 , 0,5 = - 0,04 . cos ⁡ 5 π . 0,2 cos ⁡ π . 0,5

u 0,2 , 0,5 = - 0,04 cos ⁡ π cos ⁡ π 2

Como:

cos ⁡ π 2 = 0

Então:

u 0,2 , 0,5 = 0

Resposta

a):

T = 2,0 s

A = 4,0 c m

λ = 0,4   m

b):

y 0 , t = - 0,04 s e n π t   m

c):

y x , t = - 0,04 cos ⁡ 5 π x s e n ( ω t )

d):

e):

u 0,2 , 0,5 = 0

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