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Exercícios Resolvidos de Ondas Estacionárias

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Enunciado

Uma corda de violino com 30 cm de comprimento vibra no seu segundo modo normal de vibração quando é colocada próxima a uma fonte sonora que emite um som com frequência igual a 440 Hz. Suponha que a corda do violino em repouso coincide com o eixo Ox.

(a) Qual a frequência f 2 da onda estacionária observada? Justifique a sua resposta.

(b) Determine a partir da expressão geral da onda estacionária

y x , t = A   c o s ( k x + β 1 )     c o s ( ω t + β 2 )

o comprimento de onda das ondas progressivas que produziram a onda estacionária observada.

(c) Determine a velocidade v da onda progressiva que produziu a onda estacionária observada.

(d) Determine a localização ao longo do eixo Ox dos pontos da corda onde estão os ventres ou antinós.

(e) Sabendo que o movimento de um ponto da corda que dista 7,5 cm da extremidade direita da corda do violino (origem do eixo Ox) é dada por y 0,075   m , t = 0,002   m   c o s ( 2 π f 2 t ) , obtenha a função que descreve a onda estacionária na corda.

Passo 1

(a) Se a onda sonora de 440 Hz está fazendo com que o violino entre em ressonância é porque a frequência externa é igual a uma frequência natural de oscilação do sistema.

f 2 = 440   H z

Passo 2

(b) Como a corda está no segundo modo normal, temos a seguinte situação:

Temos um comprimento de onda inteiro ao longo da corda:

λ 2 = L = 30   c m

Passo 3

(c) A velocidade vai ser

v = λ 2 f 2

v = 0,03   m 440   H z

v = 132   m / s

Passo 4

(d) Os nós estão nas extremidades e no centro. x n ó = 0 ,   15   c m   e   30   c m .

Os 2 antinós estão no ponto médio entre os nós. Então:

x 1 = 0 + 15 2 = 7,5   c m

x 2 = 15 + 30 2 = 22,5   c m

Passo 5

(e) Queremos a equação da onda estacionária dessa corda. Ela tem a seguinte forma

y x , t = A   c o s ( k x + β 1 )     c o s ( ω t + β 2 )

Vamos aplicar as condições de contorno.

y 0 , t = 0 = A cos ⁡ β 1 cos ⁡ ω t + β 2 = 0

cos ⁡ β 1 = 0

β 1 = ± π / 2

Usando o fato que c o s ⁡ ( k x ± π / 2 ) = ∓ s e n ( k x ) , temos que

y x , t = ∓ A s e n k x cos ⁡ ω t + β 2

Onde

k 2 = 2 π λ 2 = 2 π 0,3 = 20 π 3   r a d / m

ω 2 = 2 π f 2 = 880 π   r a d / s

Para x = 0,075   m , temos:

y ( 0,075 , t ) = ∓ A sen ⁡ 20 π 3 × 0,075 c o s ⁡ ( 880 π t + β 2 )

y 0,075 , t = ∓ A s e n π 2 cos ⁡ 880 π t + β 2

y ( 0,075 , t ) = ∓ A c o s ( 880 π t + β 2 )

No enunciado foi dito que:

y 0,075   m , t = 0,002   m   c o s ( 2 π f 2 t )

Comparando as duas expressões:

∓ A cos ⁡ 880 π t + β 2 = 0,002   c o s ( 880 π t )

Daqui podemos tirar que

β 2 = 0

E como A > 0 ,

A = 0,002   m

Juntando os dados todos:

y x , t = 0,002   s e n 20 3 π x c o s ⁡ ( 880 π t )

Resposta

  1. f 2 = 440   H z
  2. λ 2 = 30   c m
  3. v = 132   m / s
  4. x 1 = 7,5   c m , x 2 = 22,5   c m
  5. y x , t = 0,002   s e n 20 π 3 x c o s ⁡ ( 880 π t )

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