Uma corda com as extremidades fixas, sujeita a uma tensão de , oscila no quarto harmônico de uma onda estacionária. O deslocamento da corda é dado por, , onde em uma das extremidades da corda, x está em metros e t está em segundos.
Determine:
- O comprimento da corda
- A amplitude e a velocidade das ondas na corda (iguais, exceto pelo sentido de propagação) cuja superposição produz esta oscilação.
- A massa da corda
- A posição dos dois primeiros anti-nós (ventres)
- A velocidade transversal de uma partícula da corda no ponto para
- Se a corda oscilasse no terceiro harmônico, qual seria o período de oscilação
Passo 1
Pelo enunciado sabemos que a corda oscila no seu quarto harmônico. Isso significa que o comprimento da corda é vezes meio comprimento de onda, ou seja
Agora então para achar o comprimento da corda temos que olhar para o comprimento de onda
Passo 2
Agora temos que lembrar que para uma onda estacionária, a equação da onda fica
Identificando com a equação dada pelo enunciado, o número de onda é dado por
A unidade é por que está em metros.
Como se relaciona com por
Finalmente achamos o comprimento de onda
Dessa forma, podemos encontrar o comprimento da corda
Passo 3
De novo olhando para a equação da onda
Identificamos esse 2 na equação do enunciado
Passo 4
Agora para achar a velocidade das ondas na corda, podemos usar a seguinte relação
Já temos o ! Para achar a frequência angular, , basta olhar para a equação da onda. O vai ser o termo que estiver multiplicando o tempo
Assim a velocidades das ondas será
Passo 5
Existe uma relação entre a densidade linear da corda, a tensão sobre a mesma e a velocidade de propagação de uma onda na corda
Como já temos a velocidade de propagação e a tensão sobre a corda, basta isolar
Passo 6
Agora lembrando que a densidade linear da corda é dada por
Como já sabemos o seu comprimento, basta fazer
Passo 7
A posição dos dois primeiros anti-nós é dada quando a parte espacial da equação da onda é máxima ou mínima
Passo 8
Vamos substituir e na equação da onda
Como
Ou seja, na posição temos um nó.
Isso significa que o deslocamento vertical nesse ponto é nulo, ou seja, a velocidade transversal em é nula.
Passo 9
O período de oscilação é dado por
Temos que a velocidade não se alterará já que não mudamos a tensão nem a densidade linear da corda.
Por outro lado, o que irá mudar é o comprimento de onda, já que estamos lidando com o terceiro harmônico.
No terceiro harmônico o comprimento de onda se relaciona com o comprimento da corda por
Agora podemos calcular o período de oscilação
Resposta
a)
b),
c)
d)
e)Velocidade transversal é nula
f)