Ondas Harmônicas
Dadas as seguintes funções: Quais delas representam ondas propagantes ou progressivas?
- Somente .
- e .
- Somente .
- Somente .
- , , e .
Passo 1
A primeira coisa que a gente precisa saber é se essas equações representam ondas. Pra isso, elas precisam satisfazer a equação de onda:
Vamos analisar primeiro a
É o seguinte, é muito tentador tentar aplicar a fórmula, fazendo as derivadas parciais e vendo se elas respeitam aquilo ali de cima. Porém, no entanto, todavia, existe um jeito mais fácil e inteligente de se matar essa:
Veja que essa função é uma composição de uma função exponencial e uma função’. Lembra que as funções que seguem o padrão dessa última função são funções de onda? Então, não precisamos verificar isso! Como a função mais interna segue o padrão de uma onda, a função como um todo é uma função de onda.
Vamos mudar um pouco a equação interna pra descobrir a velocidade de propagação da onda:
Lembrando-se que :
Logo, a onda se propaga com um velocidade positiva( Por causa do sinal de menos da fórmula) ao longo do eixo x e, portanto, é uma onda progressiva.
Passo 2
:
Como essa equação é a equação simples de uma onda estacionária, nós podemos concluir que ela segue a equação de onda. No entanto, a gente não pode dizer que ela é onda progressiva...ondas estacionárias não são desse tipo, elas são, justamente, do tipo estacionária.
Isso quer dizer que elas são formadas por duas ondas que se sobrepõem e que possuem pontos que não oscilam, os nós. Essas características não são de ondas progressivas.
Logo: : é uma onda, mas não é progressiva.
Passo 3
E por fim a
A gente tem que aplicar as regrinhas dos logaritmos aqui pra chegar numa expressão mais fácil de analisar:
Vamos fazer como na . Essa equação final também pe uma composição, no caso de uma função e a função .
A função tem o formato de uma função de onda? Sim! Apesar de não aparecer e etc, ela possui um termo e .
A velocidade, que vem multiplicando o , é, no caso, 1. Como o sinal é postivio, ela está se movendo no sentido negativo do eixo
Logo, a função representa uma onda progressiva.
Logo, e são ondas progressivas!(:.
Resposta
b)