Dadas as seguintes funções: A : y x , t = A e B k x - ω t 2 ; B : y x , t = A c o s k x sin ⁡ ω t ; C : y x , t = log ⁡ x 2 - t 2 - log ⁡ x - t , Quais delas representam ondas propagantes ou progressivas?

  1. Somente B .
  2. A   e C .
  3. Somente A .
  4. Somente C .
  5. A , B , e C .

Passo 1

A primeira coisa que a gente precisa saber é se essas equações representam ondas. Pra isso, elas precisam satisfazer a equação de onda:

∂ 2 y ∂ x 2 = 1 v x 2 . ∂ y 2 ∂ t 2

Vamos analisar primeiro a A :

É o seguinte, é muito tentador tentar aplicar a fórmula, fazendo as derivadas parciais e vendo se elas respeitam aquilo ali de cima. Porém, no entanto, todavia, existe um jeito mais fácil e inteligente de se matar essa:

Veja que essa função é uma composição de uma função exponencial e uma função’ k x - ω t ' . Lembra que as funções que seguem o padrão dessa última função são funções de onda? Então, não precisamos verificar isso! Como a função mais interna segue o padrão de uma onda, a função como um todo é uma função de onda.

Vamos mudar um pouco a equação interna pra descobrir a velocidade de propagação da onda:

g x , t = k x - ω t = k ( x - ω k t )

Lembrando-se que ω k = v :

g x , t = k ( x - v t )

Logo, a onda se propaga com um velocidade positiva( Por causa do sinal de menos da fórmula) ao longo do eixo x e, portanto, é uma onda progressiva.

Passo 2

( B ) :

Como essa equação é a equação simples de uma onda estacionária, nós podemos concluir que ela segue a equação de onda. No entanto, a gente não pode dizer que ela é onda progressiva...ondas estacionárias não são desse tipo, elas são, justamente, do tipo estacionária.

Isso quer dizer que elas são formadas por duas ondas que se sobrepõem e que possuem pontos que não oscilam, os nós. Essas características não são de ondas progressivas.

Logo: ( B ) : é uma onda, mas não é progressiva.

Passo 3

E por fim a C :

A gente tem que aplicar as regrinhas dos logaritmos aqui pra chegar numa expressão mais fácil de analisar:

y x , t = log ⁡ x 2 - t 2 - log ⁡ x - t = log ⁡ x 2 - t 2 x - t = log ⁡ x - t x + t x - t = l o g ⁡ ( x + t   )

Vamos fazer como na ( A ) . Essa equação final também pe uma composição, no caso de uma função l o g e a função x + t .

A função x + t tem o formato de uma função de onda? Sim! Apesar de não aparecer ω ,   k e etc, ela possui um termo x e t .

A velocidade, que vem multiplicando o t , é, no caso, 1. Como o sinal é postivio, ela está se movendo no sentido negativo do eixo x .

Logo, a função representa uma onda progressiva.

Logo, A   e C   são ondas progressivas!(:.

Resposta

b)

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