Uma corda de um violino pode ser representada por uma corda presa nas duas extremidades de densidade linear μ e comprimento L. A velocidade de propagação de ondas transversais nessa corda é v.

(a) Encontre as frequências ν n e os comprimentos de onda λ n dos modos normais de vibração dessa corda do violino.

(b) Desenhe a forma da corda associada aos três modos de vibração mais baixos

(c) Mostre que os modos normais de vibração são descritos pela equação:

y n x , t = B n sin ⁡ n π L x cos ⁡ n π L v t + δ n

(d) Sabendo que um elemento da corda se move segundo um movimento harmônico simples, calcule a energia total de oscilação da corda, quando está vibrando no n-ésimo modo normal.

Passo 1

a) Como as duas pontas da corda tão presas, o comprimento de onda fundamental vai ser:

λ 1 = 2 L

A frequência fundamental vai ser:

ν 1 = v λ 1 = v 2 L

As frequências dos modos seguintes são:

ν n = n v 2 L

Como:

v = λ ν

v = λ n ν n

Então:

λ n = 2 L n

Passo 2

b) O desenho dos modos vai ficar assim:

Modo fundamental:

Segundo modo:

Terceiro modo:

Passo 3

c) Para que as pontas da corda sejam fixas, a função precisa ter um termo:

sin ⁡ k n x Show. Nós sabemos que:

k n = 2 π λ n = n π L

Então:

sin ⁡ k n x = sin ⁡ n π x L

Reparou que se você trocar x por zero ou x por L o seno zera? Exatamente como queríamos.

Passo 4

Para descrever uma onda estacionária harmônica, precisamos de um termo da forma:

cos ⁡ ω n t + δ n

E como:

ω n = 2 π ν n

cos ⁡ ω n t + δ n = cos ⁡ 2 π ν n t + δ n

ν n = n v 2 L

cos ⁡ 2 π ν n t + δ n = cos ⁡ 2 π n v 2 L t + δ n = cos �� n π L v t + δ n

Os modos podem ter amplitude B e ângulo de fase δ n , então:

y n x , t = B n sin ⁡ n π L x cos ⁡ n π L v t + δ n

Passo 5

d) Cada ponto da corda pode ser considerado uma partícula de massa μ dx que realiza um MHS de acordo com a equação de movimento da corda.

Tem uma fórmula pra energia de cada ponto da corda, no modo normal. Mas vamos ter que integrar! A fórmula é:

d E n = μ ∙ d x ∙ ω n 2 ∙ x 2 2 + μ ∙ d x ∙ v 2 2

A velocidade v da corda a gente acha assim:

v x , t = ∂ y ( x , t ) ∂ t = - n π v L B n sin ⁡ n π L x sin ⁡ n π L v t + δ n

A frequência angular do modo n é:

ω n = 2 π ν n = n π v L

v x , t = ∂ y ( x , t ) ∂ t = - ω n B n sin ⁡ n π L x sin ⁡ n π L v t + δ n

Então:

d E n = μ ∙ d x ∙ ω n 2 ∙ B n sin ⁡ n π L x cos ⁡ n π L v t + δ n 2 2 + μ ∙ d x ∙ - ω n B n sin ⁡ n π L x sin ⁡ n π L v t + δ n 2 2

d E n = μ ∙ d x ∙ ω n 2 ∙ B n 2 sin 2 ⁡ n π L x 2

Vamos integrar:

E n = ∫ 0 L μ ω n 2 B n 2 sin 2 ⁡ n π L x 2 d x

E n = μ ω n 2 B n 2 2 ∫ 0 L sin 2 ⁡ n π L x d x

Fazendo uns cálculos muito lokos, a gente acha que essa integral aí é:

∫ 0 L sin 2 ⁡ n π L x d x = L / 2

Então:

E n = π 2 μ B n 2 n 2 v 2 4 L

Resposta

a) λ n = 2 L n

b) Modo fundamental:

Segundo modo:

Terceiro modo:

c) Demonstração

d) E n = π 2 μ B n 2 n 2 v 2 4 L

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