Interferência
Uma corda com as duas extremidades fixas vibra no modo vibracional do primeiro harmônico de acordo com a seguinte equação: onde o valor de é dado em metros.
- Escreva expressões para as funções e das ondas que viajam simultaneamente na corda (para a direita e para a esquerda, respectivamente), ambas com a mesma amplitude e que fornecem o resultado da onda estacionária acima. Calcule o valor de .
- Qual a velocidade das ondas componentes e ?
- Qual é o comprimento da corda e qual é a distância entre dois nós na onda dada por acima?
- Qual é a maior velocidade transversal de uma partícula na corda e qual é a posição mais próxima da extremidade esquerda fixa, considerada , onde esta velocidade máxima ocorre?
- Se a corda passar a vibrar no segundo harmônico, qual será o novo comprimento de onda e a nova frequência de vibração?
Passo 1
a):
A equação : segue o modelo de onda estacionária abaixo:
As duas ondas que formam essa onda estacionária devem ter a forma:
E:
Por que uma delas vai pra esquerda e a outra pra direita e por que a gente tem aquela relação trigonométrica marota
A gente consegue identificar as variáveis facilmente:
Logo:
Passo 2
b):
Vamos usar a relação :
Por que? Oras:
Logo:
Passo 3
c):
Bom, como a corda está no seu primeiro harmônico:
Basta a gente achar esse . Podemos acha-lo pela equação de :
Logo, :
Como é no primeiro harmônico, só há dois nós. Eles estão separados por qual distância? Justamente o :
Passo 4
d):
Bom, a velocidade transversal ocorre quando só o tempo ta variando e o é constante. Pra a gente calcular isso, basta que derivemos a expressão em relação ao tempo, ou seja, faça a derivada parcial em relação ao tempo:
Logo, a velocidade máxima, em módulo, vai ser a constante que multiplica a parte trigonométrica:
Como a velocidade transversal é , a parte trigonométrica é igual a uma constante. Isso é:
Passo 5
e):
O segundo harmônico nos diz que:
Agora, pra achar a frequência fica simples:
Resposta
a):
b):
c):
d):
e):