Duas ondas se propagam em uma mesma corda horizontal muito comprida. Uma das ondas, que se propaga para a esquerda no sentido + x , é dada por

y 1 x ,   t = 0,06   s e n 4 π x + 4 π t

e a outra onda, que se propaga para a direita no sentido + x , é dada por

y 2 x ,   t = 0,06   s e n   4 π x - 4 π t

onde x e y estão dados em metros e t em segundos. A superposição das ondas cria uma onda estacionária. Seja x v a posição do primeiro ventre da corda tal que x v ≥ 0 . A posição y x v ,   t no instante t = 0,25   s é:

a) + 0,125   m .

b) + 0,12   m .

c) 0,06   m .

d) 0 .

e) - 0,06   m .

f) - 0,12   m .

g) nenhuma das respostas indicadas.

Passo 1

Esse é um exercício que você vai ter que usar a superposição de ondas. Note que as duas ondas podem ser escritas como

y 1 x ,   t = A   s e n   ( k x + ω t )

y 2 x ,   t = A   s e n   k x - ω t

com ω = 4 π   r a d / s , k = 4 π   m - 1 e A = 0,06   m . Queremos achar a superposição:

y x ,   t = y 1 x ,   t + y 2 x ,   t

Para isso, temos que lembrar de duas fórmulas que vocês conhecem bem da trigonometria:

s e n   a + b = s e n   a cos ⁡ b + s e n   b cos ⁡ a

s e n   a - b = s e n   a cos ⁡ b - s e n   b cos ⁡ a

Somando as duas:

s e n   a + b + s e n   a - b = 2   s e n   a cos ⁡ b

Com isso, chamando a = k x e b = ω t :

y x ,   t = A   s e n   k x + ω t + A   s e n   ( k x - ω t )

y x ,   t = A   s e n   k x + ω t + s e n   k x - ω t

y x ,   t = A ⋅ 2   s e n k x cos ⁡ ω t

Ou ainda,

y x ,   t = 2 A   s e n   k x cos ⁡ ω t

Passo 2

Substituindo os números:

y x ,   t = 0,12   s e n   4 π x cos ⁡ 4 π t

Queremos saber o que acontece na posição do primeiro ventre da corda. O primeiro ventre ocorre quando s e n   k x v é máximo (ou mínimo). Portanto, devemos ter s e n   k x v = 1 :

4 π x v = π 2

Assim,

x v = 1 8   m

Logo,

y x v ,   t = 0,12   s e n   4 π ⋅ 1 8 cos ⁡ 4 π t

Ou ainda,

y x v ,   t = 0,12 cos ⁡ 4 π t

Passo 3

Mas queremos saber o que ocorre nessa posição em t = 0,25   s :

y x v ,   0,25 = 0,12 cos ⁡ 4 π ⋅ 0,25

Logo,

y x v ,   0,25 = 0,12 ⋅ cos ⁡ π = - 0,12   m

Com isso, a alternativa correta é a alternativa F 😉

Resposta

Alternativa F.

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