Interferência
Uma ponta de uma corda é ligada a um vibrador mecânico de pequenas amplitudes de . A corda passa por uma polia a uma distância da ponta do vibrador e é esticada por um bloco de massa variável .A amplitude do movimento na ponta do oscilador é suficientemente pequena para que este ponto seja considerado um nó. Também deve se formar um nó no ponto em que a corda toca a roldana. Observa-se que dois possíveis valores da massa que geram ondas estacionárias nas cordas são e , e que nenhum valor de massa intermediário entre estes dois valores gera ondas estacionárias.
- Calcule a densidade linear da corda.
- Para que valor de será gerada a frequência fundamental da corda?
- Se fixarmos e variarmos o comprimento de entre e , quantas configurações diferentes de ondas estacionárias observaremos? Despreze a variação da densidade linear com o comprimento da corda.
Passo 1
a):
Vamos para a expressão da frequência:
Beleza. Nós queremos achar a densidade linear da corda. Nós vamos usar a expressão acima pra isso. Mas como?
Bem, o problema nos diz que a corda esta sujeita a tensão causada por um peso de massa variável, que pode ser ou . A mudança de massa causa uma mudança na velocidade da corda. A velocidade das ondas na corda é dada por:
Então fica:
Show! Vamos manipular essa equação pra isolar a densidade:
Passo 2
Beleza. Agora vem o pulo do gato: Pra cada massa, vamos ter um valor de diferente que faz surgir a mesma frequência de . Então:
Simplificando :
Beleza. Agora, é preciso que esses números sejam inteiros. Então:
Passo 3
Substituindo em uma das expressões pra densidade:
Passo 4
b):
Quando for gerada a frequência fundamental, haverá apenas dois nós na corda. Isso é, o comprimento da corda será igual a meio comprimento de onda:
E o valor da frequência pra esse comprimento será:
E
Bom, mas a frequência do oscilador é sempre igual a . Juntando as duas informações:
Logo, o valor de será:
Passo 5
d):
Se fixarmos , a velocidade da onda será:
Beleza! A frequência, o comprimento, a velocidade e o número do harmônico se relacionam por:
Como a frequência é sempre igual a
Então:
Beleza! Isso foi uma forma de contornar o problema: Conseguimos uma restrição! Veja bem, é sempre um inteiro, certo?
No entanto, varia....Então precisamos achar os valores de que gerem um inteiro na equação acima. Assim:
Como varia entre e e é um inteiro, a gente pode notar que os valores de que multiplicados geram um inteiro são os múltiplos de
Os valores estão na faixa porque:
E:
Então, como são três valores de , existirão três configurações diferentes!
Resposta
a):
b):
c):
Três configurações diferentes.