Calcule os limites abaixo:

b ) lim x → 0 ⁡ s e n x x

Passo 1

Faaala galerinha, tudo bom?

Nessa questão precisamos calcular:

lim x → 0 + ⁡ s e n x x

Como sempre, vamos começar substituído o valor que x está tendendo dentro do nosso limite.

lim x → 0 + ⁡ s e n x x = s e n 0 0

= 0 0

Opaaa! Uma indeterminação matemática.

Para resolvê-la podemos usar o Teorema de L’Hopital.

Basicamente, ele diz que se:

lim x → x 0 ⁡ f x g x = ∞ ∞ o u 0 0

Então vale que:

lim x → x 0 ⁡ f x g x = lim x → x 0 ⁡ f ' x g ' x

Como nosso limite é do tipo 0 / 0 , é passível de aplicarmos esse teorema.

Massa! Vamo nessa então!

Passo 2

Temos:

lim x → 0 + ⁡ s e n x x

Daí, para usar L’hopital, temos:

f x = s e n x

g x = x

Derivando, vamos ter:

f ' x = c o s ⁡ ( x )

g ' x = 1

Portanto:

lim x → 0 + ⁡ s e n x x = lim x → 0 + ⁡ cos ⁡ x 1

Opaaa, a indeterminação sumiu. Então, podemos substituir diretamente:

lim x → 0 + ⁡ cos ⁡ x 1 = cos ⁡ 0

= 1

Logo:

lim x → 0 + ⁡ s e n x x = 1

Prontinho pessoal!

Obrigado pela atenção e até a próxima 😉

Resposta

1

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Determinar os seguintes limites com auxílio das regras de L’Hospital. lim x → 0 ⁡ cosh ⁡ x - 1 1 - cos ⁡ x
Use Lh’ospital o limite underset(x - 0)(lim) (t g x)/(x + s e n x)
Calculel) underset(x - 0)(lim) (t g 3 x - s e n x)/(s e n^3 x)
Encontre o limite.underset(x - 0)(lim) (t g x)/(x)
Encontre o limite.underset(x - 0)(lim) (a r c s e n 2 x)/(x)