Sabendo que para x > 1 , f ( x ) satisfaz

x - 1 2 < x 2 - 1 f x < x + 1 ²

Calcule lim x → + ∞ ⁡ f ( x )

Passo 1

Temos uma inequação ai aí que está limitando o valor de f . É comum ver uma inequação associada ao limite em problemas com funções trigonométricas e teorema do confronto.

Não temos necessariamente uma função trigonométrica aqui, mas essa inequação cheira a teorema do confronto e vamos buscá-lo.

Antes de sair aplicando limite, vamos tentar simplificar essa inequação para isolar o f x , Dividindo tudo por x 2 - 1 para tal:

x - 1 2 x 2 - 1 < x 2 - 1 x 2 - 1 f x < x + 1 2 x 2 - 1 ⟹ x - 1 2 x 2 - 1 < f x < x + 1 2 x 2 - 1

Agora sim, podemos aplicar o limite:

l i m x → + ∞ x - 1 2 x 2 - 1 < l i m x → + ∞ f x < l i m x → + ∞ x + 1 2 x 2 - 1

Como temos:

x 2 - 1 = x - 1 x + 1

Temos que:

l i m x → + ∞ x - 1 2 x 2 - 1 = l i m x → + ∞ x - 1 2 x - 1 x + 1 = l i m x → + ∞ x - 1 x + 1

Dividindo tudo pela maior potência:

l i m x → + ∞ x - 1 x + 1 = l i m x → + ∞ x / x - 1 / x x / x + 1 / x = l i m x → + ∞ 1 - 1 / x 1 + 1 / x = 1 - l i m x → + ∞ 1 / x 1 + l i m x → + ∞ 1 / x = 1

Da mesma maneira: l i m x → + ∞ x + 1 2 x 2 - 1 = l i m x → + ∞ x + 1 2 x - 1 x + 1 = l i m x → + ∞ x + 1 x - 1 = 1  

Passo 2

Então podemos escrever a inequação dessa seguinte forma:

l i m x → + ∞ x - 1 2 x 2 - 1 < l i m x → + ∞ f x < l i m x → + ∞ x + 1 2 x 2 - 1 ⟹ 1 < lim x → ∞ ⁡ f x < 1

Dessa maneira, pelo teorema do confronto, temos que: lim x → ∞ ⁡ f x = 1

Resposta

lim x → ∞ ⁡ f x = 1

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