Avalie os limites abaixo e encontre o correspondente valor caso exista.

( a ) lim x → + ∞ ⁡ ln ⁡ x 2 x 7

Passo 1

Basta jogar essa tendência de x a + ∞ que a gente cairá numa indeterminação ∞ ∞ . Aí não tem jeito, L’Hospital é o cara:

lim x → + ∞ ⁡ ln ⁡ x 2 x 7 ⇒ L ' H lim x → + ∞ ⁡ 2 ln ⁡ x ln ⁡ x ' 7 x 6 = lim x → + ∞ ⁡ 2 ln ⁡ x 1 x 7 x 6

= lim x → + ∞ ⁡ 2 ln ⁡ x 7 x 7

Nesse formato aí ainda temos a mesma indeterminação: se jogar o x continuamos com ∞ ∞ . Ataca com L’Hospital de novo, fera.

lim x → + ∞ ⁡ 2 ln ⁡ x 7 x 7 ⇒ L ' H lim x → + ∞ ⁡ 2 1 x 49 x 6 = lim x → + ∞ ⁡ 2 49 x 7

Agora tem constante em cima e função crescente embaixo. Substituindo esse cara vai zerar!

lim x → + ∞ ⁡ 2 49 x 7 = 2 ∞ = 0

Resposta

lim x → + ∞ ⁡ ln ⁡ x 2 x 7 = 0

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