Calcule:

a   lim x → 0 ⁡ x cos ⁡ x tg ⁡ 2 x

Passo 1

Ao substituir o x → 0 direto na função teríamos o seguinte:

lim x → 0 ⁡ x cos ⁡ x tg ⁡ 2 x = 0 1 0 = 0 0

Problema, né? Vou começar dando uma mexida nesse cara, abrindo a tangente:

lim x → 0 ⁡ x cos ⁡ x tg ⁡ 2 x = lim x → 0 ⁡ x cos ⁡ x sen ⁡ 2 x cos ⁡ 2 x = lim x → 0 ⁡ x cos ⁡ x cos ⁡ 2 x sen ⁡ 2 x

= lim x → 0 ⁡ cos ⁡ x cos ⁡ 2 x lim x → 0 ⁡ x sen ⁡ 2 x

Passo 2

Olha o seguinte, nesse primeiro limite nós chegamos num resultado claro. No segundo, por outro lado, ainda temos a mesma indeterminação:

lim x → 0 ⁡ cos ⁡ x cos ⁡ 2 x = cos ⁡ 0 cos ⁡ 0 = 1 1

= 1

lim x → 0 ⁡ x sen ⁡ 2 x = 0 sen ⁡ 0 = 0 0

Vamos fazer L’Hospital com esse limite:

lim x → 0 ⁡ x sen ⁡ 2 x → L ' H lim x → 0 ⁡ x ' sen ⁡ 2 x '

= lim x → 0 ⁡ 1 2 cos ⁡ 2 x = 1 2 cos ⁡ 0

= 1 2

Enfim, o resultado será:

lim x → 0 ⁡ cos ⁡ x cos ⁡ 2 x lim x → 0 ⁡ x sen ⁡ 2 x = 1 1 2

= 1 2

Resposta

lim x → 0 ⁡ x cos ⁡ x tg ⁡ 2 x = 1 2

Exercícios de Livros Relacionados

Encontre o limite. Use a Regra de L’Hospital onde for apropriado. Se existir um método mais elementar, use-o. Se a regra de L’Hospital não for aplicável, explique por quê. lim θ → π / 2⁡ 1 - s e n ( θ
Determinar os seguintes limites com auxílio das regras de L’Hospital. lim x → 0 ⁡ cosh ⁡ x - 1 1 - cos ⁡ x
Use Lh’ospital o limite underset(x - 0)(lim) (t g x)/(x + s e n x)
Calculel) underset(x - 0)(lim) (t g 3 x - s e n x)/(s e n^3 x)
Encontre o limite.underset(x - 0)(lim) (t g x)/(x)