UFES, 2018.1, Lista 5, Q10
10) Calcule cada limite, quando possível. Caso conclua que o limite não existe, justifique.
Onde .
Passo 1
Fala pessoal do Responde Aí!
Vamos começar substituindo no nosso limite para ver se vai dar tudo certo ou se cai em uma indeterminação:
Deu uma indeterminação matemática!
Passo 2
Aqui também precisaríamos efetuar um grande trabalho algébrico para tirar essa indeterminação. Nesse caso é uma ótima opção usarmos o teorema de L’hospital, que diz o seguinte:
Se a gente tiver um limite que quando substituímos o valor que está tendendo caímos em uma indeterminação (algo como ou ), podemos afirmar que:
Onde e são as derivadas de e , respectivamente.
Então, para esse problema temos:
Daí, derivando e temos:
Daí pelo teorema de L’hospital, vamos ter que:
Passo 3
O problema é que esse limite continua sendo indeterminado, pois se substituirmos , teremos novamente um frustrante . Isso significa que precisamos aplicar o teorema de L’hospital mais uma vez rs...
Então:
Mas, quando , vale apenas:
Excelente, não continuou dando zero no numerador. Já é um bom sinal. Vamos agora ver a função .
Também muito bom, pois quando , não tende a zero.
Então vamos finalizar, finalmente, essa questão. Pelo teorema de L’hospital, é verdade que:
Ufaa, essa tava bem complicada, mas conseguimos. Fica como dica esse teorema poderosíssimo!