a) Calcule:

lim x → 2 ⁡ x   e 2 - x - 2 ln ⁡ 3 - x

Passo 1

Bora lá. A primeira coisa que a gente faz toda vez que vemos um limite é substituir e ver se só isso já fecha a questão. Vamos ter então:

2   e 2 - 2 - 2 ln ⁡ 3 - 2 = 2   e 0 - 2 ln ⁡ 1 = 2 - 2 0 = 0 0

Puts, indeterminação! Já que é assim vamos precisar buscar uma estratégia pra reescrever esse limite pra sumir com a indeterminação dái.

Passo 2

Vamos ver o tipo de indeterminação que a gente achou:

0 0

Opa, não é que dá pra usarmos L’Hospital? Realizando L’Hospital então, vamos ter:

lim x → 2 ⁡ x   e 2 - x - 2 ln ⁡ 3 - x = lim x → 2 ⁡ x   e 2 - x - 2 ' ln ⁡ 3 - x '

= lim x → 2 ⁡ x '   e 2 - x + x   e 2 - x ' 1 3 - x   3 - x ' = lim x → 2 ⁡   e 2 - x + x   e 2 - x 2 - x ' 1 x - 3

= lim x → 2 ⁡ e 2 - x x - 3 1 - x

Substituindo:

e 2 - 2 2 - 3 1 - 2 = e 0 - 1 - 1 = 1

Resposta

lim x → 2 ⁡ x   e 2 - x - 2 ln ⁡ 3 - x = 1

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