Calcule

lim x → 1 ⁡ x 1 x - 1

Passo 1

Eaee!!! Belezinha? Bom... a questão nos pede para resolver o seguinte limite:

lim x → 1 ⁡ x 1 x - 1

Para isso, não podemos simplesmente substituir x por 1 pois haverá uma indeterminação.

Nesse caso, precisamos fazer uma manipulação algébrica utilizando propriedades dos expoentes.

Quer saber como? Então bora junto!!

😉

Passo 2

Sabemos que a x = e ln ⁡ a x , logo:

x 1 x - 1 = e ln ⁡ x 1 x - 1

Também é interessante a gente saber que ln ⁡ a x = x * ln ⁡ a , portanto:

e ln ⁡ x 1 x - 1 = e 1 x - 1 * ln ⁡ x

Assim, temos o seguinte limite:

lim x → 1 ⁡ e 1 x - 1 * ln ⁡ x

Passo 3

Agora, vamos aplicar a regra da cadeia no limite, que é dada da seguinte forma:

“Se lim u → b ⁡ f u = L e lim x → a ⁡ g x = b e f x é contínuo em x = b , então lim x → a ⁡ f g x = L

Assim, temos que:

u = lim x → 1 ⁡ 1 x - 1 * ln ⁡ x

Vamos simplificar o termo 1 x - 1 * ln ⁡ x aplicando a regra de L’Hospital:

( ln ⁡ x ) ' ( x - 1 ) ' = 1 x 1

Aplicando no limite, temos:

u = lim x → 1 ⁡ 1 x - 1 * ln ⁡ x = lim x → 1 ⁡ 1 x 1 = 1 1 1 = 1

Por outro lado, vamos resolver o outro limite:

lim u → 1 ⁡ e u = lim u → 1 ⁡ e 1 = e

Entendeu direitinho? Responde aee ;)

Resposta

lim x → 1 ⁡ x 1 x - 1 = e

Exercícios de Livros Relacionados

Determinar os seguintes limites com auxílio das regras de L’Hospital. lim x → 0 ⁡ cosh ⁡ x - 1 1 - cos ⁡ x
Use Lh’ospital o limite underset(x - 0)(lim) (t g x)/(x + s e n x)
Calculel) underset(x - 0)(lim) (t g 3 x - s e n x)/(s e n^3 x)
Encontre o limite.underset(x - 0)(lim) (t g x)/(x)
Encontre o limite.underset(x - 0)(lim) (a r c s e n 2 x)/(x)